6.3.問題集
この節では、正規行列に関する固有値の誤差評価や残差ベクトル、部分行列との関係、摂動理論に関する重要な性質を確認する。
問題 6.3.P1
\(A = [a_{ij}] \in M_n\) が正規行列であり、その固有値を \(\lambda_1, \ldots, \lambda_n\) とする。次を示せ。
\sum_{i=1}^{n} |a_{ii} - \lambda_{\sigma(i)}|^2 \le \sum_{i \ne j} |a_{ij}|^2
ここで、\(\sigma\) は \(1, \ldots, n\) のある順列である。
問題 6.3.P2
式 (6.3.14) の上界は残差ベクトル \(r = A\hat{x} - \hat{\lambda}\hat{x}\) のノルムを含む。与えられた \(A \in M_n\) と非零ベクトル \(\hat{x}\) に対して、最適な \(\hat{\lambda}\) の選び方は何か。
(a) ユークリッドノルムの場合、任意の非零ベクトル \(\hat{x}\) に対して、次が成り立つことを示せ。
\|r\|_2 \ge \|A\hat{x} - (\hat{x}^*A\hat{x})\hat{x}\|_2 \quad \text{for all } \hat{\lambda} \in \mathbb{C}
(b) \(A\) が正規行列で、\(y\) が単位ベクトルであるとき、少なくとも1つの固有値が次の円板内に存在することを説明せよ。
\{ z \in \mathbb{C} : |z - y^*Ay| \le (\|Ay\|_2^2 - |y^*Ay|^2)^{1/2} \}
(c) \(A\) がエルミート行列で、\(y\) が単位ベクトルであるとき、少なくとも1つの固有値が次の実区間内に存在することを説明せよ。
\{ t \in \mathbb{R} : |t - y^*Ay| \le (\|Ay\|_2^2 - (y^*Ay)^2)^{1/2} \}
問題 6.3.P3
正規行列 \(A \in M_n\) を次のように分割する：
A = \begin{bmatrix} B & X \\ Y & C \end{bmatrix}
ここで \(B \in M_k\)、\(C \in M_{n-k}\) である。\(B\) の固有値を \(\beta\)、\(C\) の固有値を \(\gamma\) とする。
(a) 式 (6.3.14b) を用いて、次を示せ。\(A\) の固有値の1つが次の円板内に存在する：
\{ z \in \mathbb{C} : |z - \beta| \le \|Y\|_2 \}
さらに、次の円板内にも固有値が存在する：
\{ z \in \mathbb{C} : |z - \gamma| \le \|X\|_2 \}
(b) \(k = 1\) の場合、\(A = \begin{bmatrix} b & x^* \\ y & C \end{bmatrix}\)、ただし \(b \in \mathbb{C}\)、\(x, y \in \mathbb{C}^{n-1}\) とする。
このとき、次の円板内に固有値が存在する理由を説明せよ。
\{ z \in \mathbb{C} : |z - b| \le \|x\|_2 \}, \quad
\{ z \in \mathbb{C} : |z - \gamma| \le \|x\|_2 \}
問題 6.3.P4
\(A \in M_n\) を正規行列とし、\(S\) を \(\mathbb{C}^n\) の \(k\) 次元部分空間とする。さらに \(\gamma \in \mathbb{C}\)、\(\delta > 0\) が与えられているとする。
(a) 任意の単位ベクトル \(x \in S\) に対して \(\|Ax - \gamma x\|_2 \le \delta\) が成り立つならば、少なくとも \(k\) 個の固有値が次の円板内に存在することを示せ。
\{ z \in \mathbb{C} : |z - \gamma| \le \delta \}
(b) \(k = 1\) の場合、この主張が式 (6.3.14b) と同値であることを説明し、(a) の証明を特化して式 (6.3.16) の別証明を導け。
問題 6.3.P5
実数 \(t_0\) に対して多項式 \(p(t) = (t - t_0)^2\) を考える。 \(\epsilon > 0\) のとき、多項式 \(p(t) - \epsilon\) の零点が \(t_0 \pm \sqrt{\epsilon}\) であることを示せ。
また、多項式の零点に対する摂動と係数の摂動との比が無限大になりうる理由を説明せよ。
問題 6.3.P6
式 (6.3.4) は、正規行列において固有値の摂動と行列要素の摂動の比が有限であることを示している。
しかし、行列の固有値はその特性多項式の零点にすぎない。この事実が前問の結論とどのように両立するかを説明せよ。
要するに、行列の固有値を求める際に、特性多項式を明示的に計算してその零点を求める方法は非常に危険である。この手法は、本来は良条件な問題を悪条件なものに変えてしまう可能性がある。
問題 6.3.P7
次の行列を考える。
A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \quad
E = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \quad
A + tE \text{ for } t \gt 0
(a) \(A\) は (6.3.12) の仮定を満たすか？
(b) \(A + tE\) の固有値が \(\pm \sqrt{t}\) であることを示し、固有値 \(\lambda(t) = \sqrt{t}\) が連続ではあるが \(t = 0\) では微分可能でないことを説明せよ。
(c) \(A\) は (6.3.2) の仮定を満たすか？
(d) \(A\) の固有値を \(\lambda\)、\(A + tE\) の固有値を \(\lambda(t)\) とするとき、任意の \(t \gt 0\) に対して \(|\lambda(t) - \lambda| \le c\|tE\|\) を満たす \(c > 0\) が存在しない理由を説明し、式 (6.3.3) による評価と対比せよ。
問題 6.3.P8
式 (6.3.5) の証明の議論を用いて、定理の仮定の下で、整数 1, …, n の順列 \(\tau\) が存在して次を満たすことを示せ。
\sum_{i=1}^{n} |\hat{\lambda}_{\tau(i)} - \lambda_i|^2 \ge \|E\|_2^2
問題 6.3.P9
式 (6.3.5) の証明では、もし \(U = [u_{ij}] \in M_n\) がユニタリ行列であれば、行列 \(A = [|u_{ij}|^2]\) は二重確率行列（doubly stochastic）かつユニストカスティック（unistochastic）であることを利用した（式 (4.3.P10) 参照）。次の二重確率行列がユニストカスティックでないことを示せ。
\begin{bmatrix}
1/2 & 1/2 & 0 \\
1/2 & 0 & 1/2 \\
0 & 1/2 & 1/2
\end{bmatrix}
問題 6.3.P10
実対称行列
A(t) = \begin{bmatrix} 0 & t \\ t & 0 \end{bmatrix}, \quad t \in \mathbb{R}
を考える。\(A(t)\) の固有値は \(\lambda_1(t) = |t|\) および \(\lambda_2(t) = -|t|\) であり、いずれも \(t = 0\) では微分可能でないことを示せ。これは式 (6.3.12) と矛盾するか？ なぜかを説明せよ。
参考文献
(6.3.2) の最初の版は F. Bauer と C. Fike, "Norms and exclusion theorems", Numer. Math. 2 (1960) 137–141 に現れる。
(6.3.5) の元の版は A. J. Hoffman と H. Wielandt, "The variation of the spectrum of a normal matrix", Duke Math. J. 20 (1953) 37–39 にある。実対称行列の場合の初等的な証明は Wilkinson (1965), pp. 104–109 にある。
定理 6.3.12 は非常に興味深い話の最初の部分にすぎない。
残りの内容の要約は J. Moro, J. V. Burke, M. L. Overton, "On the Lidskii–Vishik–Lyusternik perturbation theory for eigenvalues of matrices with arbitrary Jordan structure", SIAM J. Matrix Anal. Appl. 18 (1997) 793–817 を参照。詳細は Baumgärtel (1985), Chatelin (1993), Kato (1980) に記載されている。
行列解析の総本山
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