[行列解析6.2.P5]

6.2.問題5
- 6.2.P5
行列解析の総本山

6.2.問題5

6.2.P5

(6.2.28) を用いて、多項式 \(p(z) = z^n + a_{n-1}z^{n-1} + \cdots + a_1 z + a_0\), \(a_0 \ne 0\) の根 \(\tilde{z}\) に対するコーシーの界 (5.6.47) が、\(|\tilde{z}| \lt \max\{|a_0|, |a_1| + 1, |a_2| + 1, \dots, |a_{n-1}| + 1\}\) に改善されることを示せ。

ただし、実数 \(|a_0|, |a_1|+1, |a_2|+1, \dots, |a_{n-1}|+1\) がすべて等しくない場合に限る。モンテルの界 (5.6.48)、カーマイケル・メイソンの界 (5.6.49)、小島の界 (5.6.53) に対してはどのような改善が可能か。