[行列解析6.2.19]系：SC性と行列の正性条件の同値性

6.2.19
行列解析の総本山

6.2.19

系6.2.19．

行列 \(A \in M_n\) に対して、次の条件は同値である。

(a) AはSC性を持つ。
(b) \((I + |A|)^{n-1} > 0\)。
(c) \((I + M(A))^{n-1} > 0\)。

証明．\((I + |A|)^{n-1} = I + (n-1)|A| + \binom{n-1}{2}|A|^2 + \cdots + |A|^{n-1} > 0\) であることは、異なるノード \(i \neq j\) に対して、少なくとも \(|A|, |A|^2, \dots, |A|^{n-1}\) のいずれかの行列の \(i,j\) 成分が正であることと同値である。(定理6.2.16) により、これは \(\mathcal{G}(A)\) において \(P_i\) から \(P_j\) への有向経路が存在することと同値である。したがって、\(\mathcal{G}(A)\) が強連結であることと同値であり、これが A が SC性を持つことと同値である。

演習．前系における \(M(A)\) に関する主張を証明せよ。