[行列解析6.2]ゲルシュゴリン円盤 – 詳細な解析

6.2.目次

これまでに、厳密な対角優位（strict diagonal dominance）が行列の非特異性（nonsingularity）を保証する十分条件であることを確認した。しかし、単なる対角優位（diagonal dominance）だけでは非特異性は保証されない。

いくつかの \(2 \times 2\) 行列の例を考えると、次のような推測が導かれる。すなわち、「対角優位に加えて、少なくとも1つの \(i = 1, \ldots, n\) に対して次の厳密な不等式

\lvert a_{ii} \rvert \gt R_i = \sum_{j \ne i} \lvert a_{ij} \rvert

が成り立つならば、その行列は非特異である」というものである。

しかしながら、この推測は必ずしも正しくない。次の例がその反例である。

\begin{bmatrix} 4 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}

しかし、対角優位行列に対して、条件 (6.2.1) が非特異性を保証するための有用な追加条件が存在する。そして、それらの条件はグラフ理論における非常に興味深い概念へとつながる。

基本的な観察として、もし行列 \(A\) が対角優位であるならば、原点（0）はいかなるゲルシュゴリンの円盤の内部にも存在しえないという事実がある。