[行列解析6.1.P16]

6.1.問題16

「ガウスの消去法は厳密対角優位性を保つ」という格言を検討する問題である。\(n\ge 2\) とし，\(A\in M_n\) が厳密対角優位であると仮定する。

(a) \(A\) の先頭からのすべての主小行列（leading principal submatrices）が非特異であることを説明せよ。
(b) 行列を次のように分割する：

A = \begin{pmatrix} a & y^{T} \\ x & B \end{pmatrix},

ここで \(x,y\in \mathbb{C}^{n-1}\) である。第1列に対してガウス消去を行うと，

A' = \begin{pmatrix} a & y^{T} \\ 0 & C \end{pmatrix}, \\ C = B - a^{-1} x y^{T}

このとき \(C\)（したがって \(A'\)）が厳密対角優位であることを示せ。
(c) ブロック分割

A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix},

ここで \(A_{11}\in M_k\) とする。シュール補行列

\(C = A_{22}-A_{21}A_{11}^{-1}A_{12}\) を考え，(a) と帰納法を用いて，ブロック単位のガウス消去後の行列

\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ 0 & C \end{pmatrix}

が厳密対角優位であることを説明せよ。