5.7.問題24
5.7.P24
数値半径は、自然な近似問題に関連します。任意の \(A \in M_n\) に対して、ランク1エルミート行列のスカラー倍でフロベニウスノルムにおける最小二乗近似を行う場合を考えます。\(c \in \mathbb{C}\)、\(x \in \mathbb{C}^n\)、\(\|x\|_2 = 1\) とすると：
\|A - c x x^\ast\|_2^2 \ge \|A\|_2^2 - 2 |c \langle A, x x^\ast \rangle_F| + |c|^2
が成り立ち、最小化は次の場合に達成されます：
c = \langle A, \tilde{x} \tilde{x}^\ast \rangle_F
ここで \(\tilde{x}\) は、\(r(A) = |\tilde{x}^\ast A \tilde{x}|\) を満たす単位ベクトルです。結論として：
\|A - r(A) \tilde{x} \tilde{x}^\ast\|_2 \le \|A - c x x^\ast\|_2 \quad \text{任意の } c \in \mathbb{C}, \|x\|_2 = 1
行列解析の総本山
[行列解析]総本山
行列解析の総本山。行列解析の内容を網羅的かつ体系的に整理しています。線形代数の学習を一通り終えた方が、次のステップとして取り組むのに最適です。行列に関する不等式を研究するには、行列解析の知識が欠かせません。
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2025.08.05
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