5.7.問題20
5.7.P20
行列集合 \(M_n\) 上の数値半径関数 \(r(\cdot)\) に関する次の主張を証明します：
(a) \(r(\cdot)\) はユニタリ不変ではありませんが、ユニタリ相似不変です：\(U \in M_n\) がユニタリ行列のとき、\(r(U^\ast A U) = r(A)\) が成り立ちます。
(b) 任意の \(A \in M_n\) に対して、
r(A) = max_{x, \|x\|_2=1} |x^\ast A x| \le max_{x, \|x\|_2=1} \frac{\|Ax\|_2}{\|x\|_2} = \|A\|_2
であり、\(A\) が正規行列のとき、\(r(A) = \rho(A) = \|A\|_2\) が成り立ちます。さらに、\(r(A) \lt \|A\|_2\) となる \(A \in M_n\) の例を示す必要があります。
(c) 任意の \(A \in M_n\) に対して、\(r(A) = r(A^\ast)\) が成り立ちます。
(d) 任意の \(A \in M_n\) に対して、\(\|A\|_2 \le 2 r(A)\) が成り立ちます。
(e) 以下の不等式は鋭い（最適）です：
\frac{1}{2} \|A\|_2 \le r(A) \le \|A\|_2
行列解析の総本山
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2025.08.05
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