[行列解析5.7.P11]

5.7.問題11

5.7.P11

(a) \(r(J_2(0)) = \tfrac{1}{2}\) を示してください。 (b) なぜ数値半径は任意の \( \mathbb{C}^n \) 上のノルムと整合し得ないのか説明してください。 (c) 任意の \(A \in M_n\) について、そのスペクトルは値域（field of values）に含まれることを示してください。 (d) 数値半径がスペクトル支配的（spectrally dominant）である理由を説明してください。

解説メモ：（a）は \(J_2(0)\) の値域を直接計算するか、定義 \(r(A)=\max_{\|x\|_2=1} |x^* A x|\) を使って求めます。（b）は (a) の事実や互換性の定義から導かれる矛盾を用います。（c）は固有値に対応する固有ベクトルを値域内の点として評価することで示せます。（d）は値域にスペクトルが含まれることから数値半径がスペクトル半径以上を抑える（あるいは同等の）性質を持つことを説明します。