[行列解析5.7.18]定理：\(C_n\) 上の任意のノルムは、行列ノルムでない \(M_n\) 上のベクトルノルムと互換である

5.7.18

定理 5.7.18. \(C_{n}\) 上の任意のノルムは、行列ノルムでない \(M_{n}\) 上のベクトルノルムと互換である。

証明

\(\|\cdot\|\) を \(C_{n}\) 上の任意のノルムとし、主対角がゼロの置換行列 \(P \in M_{n}\) をとる。例えば巡回行列 (0.9.6.2) を考える。\(\|\cdot\|\,|\) を \(\|\cdot\|\) が誘導する \(M_{n}\) 上の行列ノルムとする。任意の \(A = [a_{ij}] \in M_{n}\) に対して次を定義する：

G(A) = \|A\|\,| + \|P\|\,| \, \|P^{T}\| \max_{1 \leq i \leq n} |a_{ii}|

このとき \(G(\cdot)\) は \(M_{n}\) 上のノルムである。さらに \(G(A) \geq \|A\|\,|\) であり、任意の \(x \in C_{n}\) に対して

\|Ax\| \leq \|A\|\,| \, \|x\| \leq G(A) \|x\|

が成り立つため、\(G(\cdot)\) は \(\|\cdot\|\) と互換である。しかしながら

G(P) = \|P\|\,|, \quad G(P^{T}) = \|P^{T}\|\,|, \quad G(PP^{T}) = G(I) = \|I\|\,| + \|P\|\,| \, \|P^{T}\| > G(P)G(P^{T})

よって \(G(\cdot)\) は劣乗法的でない。

演習問題

演習 1. \(A = [a_{ij}] \in M_{n}\) に対して、次のノルムを考える：

G(A) = \|A + \text{diag}(a_{11}, \dots, a_{nn})\|_{\infty}

\(G(\cdot)\) が (5.7.2) 形式を持つことを示し、したがって \(M_{n}\) 上のノルムであることを確認せよ。また、\(C_{n}\) 上のノルム \(\|\cdot\|_{\infty}\) と互換であることを示せ。次に

A = \begin{bmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}

に対して \(G(A)\) と \(G(A^{2})\) を計算し、なぜ \(G(\cdot)\) が劣乗法的でないかを説明せよ。

本節の最終目標は、\(M_{n}\) 上のノルム \(G(\cdot)\) のスペクトル優越性の必要十分条件を示すことである。ここでは弱い形の劣乗法性に注目する。すなわち、各 \(A \in M_{n}\) に対して正の定数 \(\gamma_{A}\) が存在し、すべての \(k = 1,2,\dots\) に対して

G(A^{k}) \leq \gamma_{A} \, G(A)^{k}

が成り立つ場合、すべての \(k\) に対して \(G(A^{k})^{1/k} \leq \gamma_{A}^{1/k} G(A)\) となり、(5.7.10) から \(\rho(A) \leq G(A)\) が従う。すなわち、\(G(\cdot)\) はスペクトル的に優越である。この十分条件が必要条件でもあることを示す際には、\(G(\cdot)\) の劣加法性が重要である。

演習 2. \(M_{n}\) 上のノルム \(G(\cdot)\) について、次の条件が同値であることを説明せよ：

(a) 各 \(A \in M_{n}\) に対して正の定数 \(\gamma_{A}\) が存在し、すべての \(k = 1,2,\dots\) に対して \(G(A^{k}) \leq \gamma_{A} G(A)^{k}\) が成り立つ。

(b) 各 \(A \in M_{n}\) で \(G(A) = 1\) のとき、列 \(G(A), G(A^{2}), G(A^{3}), \dots\) が有界である。

演習 3. \(M_{n}\) 上のノルム \(G(\cdot)\) と正則行列 \(S \in M_{n}\) をとり、任意の \(A \in M_{n}\) に対して \(G_{S}(A) = G(SAS^{-1})\) と定義する。なぜ \(G(\cdot)\) がスペクトル的に優越であることと \(G_{S}(\cdot)\) がスペクトル的に優越であることが同値かを説明せよ。