[行列解析5.7.11]定理：ベクトルノルムを行列ノルムに変換する条件

5.7.11

定理 5.7.11. \(G(\cdot)\) を \(M_n\) 上のベクトルノルムとする。

c(G) = \max_{G(A) = 1 = G(B)} G(AB)

と定義する。このとき、正の実数スカラー \(\gamma\) に対して、\(\gamma G(\cdot)\) が \(M_n\) 上の行列ノルムとなるのは、\(\gamma \geq c(G)\) のとき、かつそのときに限る。

また、\(\| \cdot \|\) を \(M_n\) 上の行列ノルムとし、すべての \(A \in M_n\) に対して正の定数 \(C_m\)、\(C_M\) を用いて次の不等式が成り立つとする：

C_m \|A\| \leq G(A) \leq C_M \|A\|

このとき、\(\gamma_0 = C_M / C_m^2\) と定義すれば、\(\gamma_0 G(\cdot)\) は行列ノルムとなり、したがって \(\gamma_0 \geq c(G)\) が成り立つ。

証明. \(c(G)\) は、コンパクト集合上の正値連続関数の最大値として定義されるので、有限かつ正である。

任意の非ゼロの \(A, B \in M_n\) に対して、次が成り立つ：

c(G) \geq \frac{G(AB)}{G(A) G(B)} \quad \Rightarrow \quad G(AB) \leq c(G) G(A) G(B)

よって、すべての \(A, B\) に対して、

c(G) G(AB) \leq (c(G) G(A)) (c(G) G(B))

が成り立ち、したがって \(c(G) G(\cdot)\) は行列ノルムである。

さらに、\(\gamma > c(G)\) のとき：

\gamma G(AB) \leq \frac{\gamma}{c(G)} (c(G) G(A)) (c(G) G(B)) \leq (\gamma G(A)) (\gamma G(B))

よって \(\gamma G(\cdot)\) も行列ノルムとなる。

一方、\(\gamma \lt c(G)\) かつ \(\gamma G(\cdot)\) が行列ノルムであると仮定すると、\(G(A) = G(B) = 1\) となる \(A, B\) に対して：

\gamma G(AB) \leq \gamma^2 \quad \Rightarrow \quad G(AB) \leq \gamma \lt c(G)

これは \(c(G)\) の定義に矛盾するので、\(\gamma G(\cdot)\) は行列ノルムではない。

最後に、\(\gamma_0 = C_M / C_m^2\) に対して：

\gamma_0 G(AB) \leq \gamma_0 C_M \|AB\| \leq \gamma_0 C_M \|A\| \|B\| \leq \gamma_0 \frac{C_M}{C_m^2} G(A) G(B) = (\gamma_0 G(A)) (\gamma_0 G(B))

よって、\(\gamma_0 G(\cdot)\) も行列ノルムである。■

演習問題： 式 (5.7.11) と (5.6.14) を用いて、\(M_n\) 上のベクトルノルムに対するゲルファントの公式を導出せよ。

任意の行列ノルム \(\|\cdot\|\) の重要な性質として、スペクトル優位性（spectrally dominant）がある。すなわち、すべての \(A \in M_n\) に対して \(\|A\| \geq \rho(A)\) が成り立つ。この性質は、たとえノルムが乗法劣加性（submultiplicative）でなくとも、ベクトルノルムが持つ場合がある。以下では、そのような状況がどのようにして生じるかを検討する。