[行列解析5.7]行列上のベクトルノルム

5.7 行列上のベクトルノルム

行列に対して「大きさ」を定義するためには、ノルムのすべての公理が必要ですが、ある重要な応用では、行列ノルムにおける劣乗法則（submultiplicativity）は必ずしも必要ではありません。例えば、ゲルファンドの公式 (5.6.14) は劣乗法則を必要とせず、ベクトルノルムやプレノルムに対しても成立します。本節では、行列に対するベクトルノルム、すなわち必ずしも劣乗法則を満たさない \(M_n\) 上のベクトル空間におけるノルムについて議論します。ここでは \(M_n\) 上の一般的なベクトルノルムを \(G(\cdot)\) と表記し、まず行列ノルムである場合とそうでない場合の例を示します。

例 1. もし \(G(\cdot)\) が \(M_n\) 上のノルムであり、かつ \(S, T \in M_n\) が正則であるならば、

G_{S,T}(A) = G(SAT), \quad A \in M_n

(5.7.1) は \(M_n\) 上のノルムです。ただし、たとえ \(G(\cdot)\) が行列ノルムであっても、\(T = S^{-1}\) でない限り、\(G_{S,T}(\cdot)\) は劣乗法則を満たす必要はありません (5.6.7)。

演習. (5.7.1) の \(G_{S,T}(\cdot)\) が常に \(M_n\) 上のノルムであることを示せ。

演習. \(S = T = \tfrac{1}{2} I\)、かつ \(G(\cdot) = n \| \cdot \|_{\infty}\) としたとき、\(G_{S,T}(\cdot)\) が行列ノルムではないことを示せ。

例 2. 2つの同じサイズの行列 \(A = [a_{ij}]\)、\(B = [b_{ij}]\) のハダマード積（要素ごとの積）は \(A \circ B = [a_{ij}b_{ij}]\) と定義されます。もし \(H \in M_n\) の要素がすべて非ゼロであり、\(G(\cdot)\) が任意のノルムであるならば、

G_H(A) = G(H \circ A), \quad H \in M_n, \; |H| \gt 0

(5.7.2) は \(M_n\) 上のノルムです。ただし、たとえ \(G(\cdot)\) が行列ノルムであっても、\(G_H(\cdot)\) は必ずしも劣乗法則を満たすとは限りません。

演習. (5.7.2) の \(G_H(\cdot)\) が常にノルムであることを示せ。

演習. (5.7.2) の \(G_H(\cdot)\) が、\(H\) の選び方によっては行列ノルムになる場合とならない場合があることを示せ。行列ノルム \(G(\cdot) = \| \cdot \|_{1}\)、次の行列

H_1 = \begin{bmatrix}1 & 1 \\ 1 & 1\end{bmatrix}, \quad H_2 = \begin{bmatrix}2 & 1 \\ 1 & 2\end{bmatrix}

(5.7.3) および

A = \begin{bmatrix}0 & 0 \\ 1 & 0\end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0\end{bmatrix}, \quad AB

(5.7.4) を考えよ。このとき、すべての \(C \in M_2\) に対して \(G_{H_1}(C) \leq G_{H_2}(C)\) が成り立つことに注意せよ。

例 3. 関数 \(G_c(\cdot)\) を次のように定義する：

G_c\!\left(\begin{bmatrix} a & c \\ b & d \end{bmatrix}\right) = \tfrac{1}{2}\left( |a+d| + |a-d| + |b| + |c| \right)

(5.7.5) は \(M_2\) 上のノルムである。

演習. (5.7.5) の \(G_c(\cdot)\) がノルムではあるが、行列ノルムではないことを示せ。ヒント：(5.7.4) の行列を考えよ。

例 4. \(A \in M_n\) に対し、集合

F(A) = \{ x^* A x : x \in \mathbb{C}^n, \; x^*x = 1 \}

を \(A\) の値域（field of values）または数値範囲（numerical range）と呼ぶ。このとき関数

r(A) = \max_{\|x\|_2 = 1} |x^* A x| = \max\{ |z| : z \in F(A) \}

を \(A\) の数値半径と呼ぶ。

演習. \(r(\cdot)\) が \(M_n\) 上のノルムであることを示せ。ヒント：正値性の公理 (1a) については (4.1.P6) を参照せよ。ただし数値半径は行列ノルムではない（5.7.P10 を参照）。

例 5. \(M_n\) 上の \(\ell_\infty\) ノルムは

\|A\|_\infty = \max_{1 \leq i,j \leq n} |a_{ij}|

(5.7.7) で与えられる。我々は (5.6.0.3–4) において、\(\| \cdot \|_\infty\) が \(M_n\) 上のノルムであるが、行列ノルムではないことを確認した。ただし、\(n \| \cdot \|_\infty\) は行列ノルムである。

以上の例から、行列ノルムでないノルムが \(M_n\) 上に多数存在することが分かる。これらのノルムの一部は劣乗法則から従う性質を共有するが、そうでないものもある。しかし、\(M_n\) 上の任意のノルムは、任意の行列ノルムと同値である（すなわち、同じ収束列を持つ）。実際には、(5.4.4) からより一般的な結果がすぐに従う。