[行列解析5.6.P54]

5.6.問題54

5.6.P54

(5.6.P49) でベクトル \(x_0\) と \(y_0\) の存在を保証する一般原理は、コンパクト集合のデカルト積がコンパクトであることである。この場合のコンパクト集合は、ノルム \(\|\cdot\|\) およびその双対ノルムの単位球である。
(a) 複素ノルム線形空間を \(\mathbb{C}^n \times \mathbb{C}^n = \{(x,y) : x,y \in \mathbb{C}^n\}\) として、\((x,y)+(\xi,\eta)=(x+\xi,y+\eta)\)、\(\alpha(x,y)=(\alpha x, \alpha y)\)、\(N((x,y))=\max\{\|x\|,\|y\|_D\}\) と定義せよ。
(b) \(B_{\|\cdot\|} \times B_{\|\cdot\|_D}\) はノルム \(N(\cdot)\) に関して閉じていることを示せ。
(c) \(B_{\|\cdot\|} \times B_{\|\cdot\|_D}\) はノルム \(N(\cdot)\) に関して有界であることを示せ。
(d) よって \(B_{\|\cdot\|} \times B_{\|\cdot\|_D}\) はコンパクトである。
(e) \(A \in M_n\) が非特異であると仮定する。実数値関数 \(f(x,y) = |y^* A^{-1} x|\) は \(B_{\|\cdot\|} \times B_{\|\cdot\|_D}\) 上で連続であるため、ある点 \((\hat{x},y_0)\) で最大値を達成する。ある実数 \(\theta\) が存在して \(y_0^* A^{-1} (e^{i\theta} \hat{x}) = |y_0^* A^{-1} \hat{x}|\) となる。\(x_0 = e^{i\theta} \hat{x}\) と取る。なぜ \((x_0, y_0) \in B_{\|\cdot\|} \times B_{\|\cdot\|_D}\) であり、\(\|x_0\| = \|y_0\|_D = 1\) となるか？