[行列解析5.6.P49]

5.6.問題49

5.6.P49

\(\| \cdot \|\) が \(C_n\) 上のノルムから誘導され、\(A \in M_n\) が非特異であるとする。ベクトル \(x_0, y_0 \in C_n\) を \(\|x_0\| = \|y_0\|_D = 1\) かつ \(y_0^* A^{-1} x_0 = \|A^{-1}\|\) となるものとする（5.6.P54参照）。次を定義する：

E = -\frac{x_0 y_0^*}{\|A^{-1}\|}

(a) \(\|E\| = \|A^{-1}\|^{-1}\) を示せ。
(b) \((A+E)A^{-1}x_0 = 0\) となるので、\(A+E \in S_n\)。
(c) これにより、\(\| \cdot \|\) が誘導行列ノルムである場合、任意の非特異 \(A\) に対して \(\mathrm{dist}_{\|\cdot\|}(A, S_n) = \|A^{-1}\|^{-1}\) が成立する。