[行列解析5.6.P44]

5.6.問題44

5.6.P44

\(A = [a_{ij}] \in M_n(\mathbb{R})\) がすべて整数（正・負・ゼロ）であり、\(K = \max |a_{ij}| = \|A\|_\infty\) とする。非零の固有値を \(\lambda_1, \dots, \lambda_m\) とする（重複度を含む）。以下を説明せよ：

(a) 各 \(i=1,\dots,m\) に対して \(|\lambda_i| \le nK\)（整数）である理由。
(b) 特性多項式 \(p_A(t)\) の非零係数はすべて整数であり、よって絶対値は少なくとも 1。
(c) \(p_A(t) = t^{n-m} g_A(t)\)、ここで \(g_A(t)\) は次数 \(m\) の多項式で \(|g_A(0)| = |\lambda_1 \cdots \lambda_m| \ge 1\)。
(d) \(\min_{i=1,\dots,m} |\lambda_i| \ge 1/(nK)^{m-1} \ge 1/(nK)^{n-1}\)。
(e) もし \(A\) が ±1 または 0 の要素を持つ非特異 4×4 対称行列ならば、\(A^{-1}\) の要素の絶対値は 64 を超えず、各列のユークリッドノルムも 64 を超えない。