5.6.問題42
5.6.P42
スペクトルノルムは絶対ノルムではないが、絶対ベクトルノルムから誘導されるすべての行列ノルムは、前問の (c) 部で示された弱い単調性を持つ。行列ノルム \(\| \cdot \|\) は正の直交体（positive orthant）上で単調であるとは、\(A,B \in M_n(\mathbb{R})\) かつ \(A \ge B \ge 0\)（成分ごとの不等式）のとき \(\|A\| \ge \|B\|\) が成り立つことをいう。次の証明の詳細を示せ：単調ベクトルノルムから誘導される任意の行列ノルムは正の直交体上で単調である。すなわち、\(A,B \in M_n(\mathbb{R})\) で \(A \ge B \ge 0\) とする。行列ノルム \(\| \cdot \|\) は単調ベクトルノルム \(\|\cdot\|\) から誘導されるとする。このとき
\|B\| = \max_{x \neq 0} \frac{\|Bx\|}{\|x\|} \\
= \max_{x \neq 0} \frac{\| |Bx| \|}{\|x\|} \\
\le \max_{x \neq 0} \frac{\| B|x| \|}{\|x\|} \\
\le \max_{x \neq 0} \frac{\| A|x| \|}{\|x\|} \\
\le \max_{x \neq 0} \frac{\|Ax\|}{\|x\|} \\
= \|A\|
行列解析の総本山
[行列解析]総本山
行列解析の総本山。行列解析の内容を網羅的かつ体系的に整理しています。線形代数の学習を一通り終えた方が、次のステップとして取り組むのに最適です。行列に関する不等式を研究するには、行列解析の知識が欠かせません。
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2025.08.05
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