5.6.問題28
5.6.P28
前問の記法を引き続き用い、(5.6.46) の境界を改善する。\( s = |a_0|^2 + |a_1|^2 + \dots + |a_{n-1}|^2 \) とおく。フロベニウスの同伴行列を \( C(p) = S + R \) と書く。ここで \( S = J_n(0)^T \) は n×n のニルポテント Jordan ブロックの転置、\( R = C(p) - J_n(0) \) は最後の列だけが非零のランク 1 行列である。
(a) 次を示せ：
SR^* = RS^* = 0, \quad \\ \lVert SS^* \rVert_2 = 1, \quad \\ \lVert RR^* \rVert_2 = \lVert R^* R \rVert_2 = s
(b) 次を示せ：
\lVert C(p) \rVert_2^2 = \lVert C(p)C(p)^* \rVert_2 \\ = \lVert (S+R)(S+R)^* \rVert_2 \\ = \lVert SS^* + RR^* \rVert_2 \\ \le \lVert SS^* \rVert_2 + \lVert RR^* \rVert_2
よって Carmichael と Mason の境界が得られる：
|\tilde{z}| \le \sqrt{s + 1}
(c) 最後に \( C(p) \) の最大特異値 \(\sigma_1(C(p))\) を用いるとさらに良い境界が得られる：
|\tilde{z}| \le \frac{1}{2} \sqrt{s + 1 + \sqrt{(s+1)^2 - 4|a_0|^2}} \\
= \sigma_1(C(p))
ここで \(1 \le \sigma_1(C(p)) \lt \sqrt{s+1}\)（\(\sigma_1(C(p)) = 1\) はかつて \(a_1 = \dots = a_{n-1} = 0\) の場合のみ）。したがって境界は常に \(\sqrt{s+1}\) より良い。
行列解析の総本山
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2025.08.05
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