5.6.問題27
5.6.P27
次のように次数が 1 以上の任意の多項式 \( f(z) \) は表せる：
f(z) = \gamma z^k p(z)
ここで \(\gamma\) は 0 でない定数であり、
p(z) = z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \dots + a_1 z + a_0
はモニック多項式で、\(p(0) = a_0 = 0\)。\(p(z) = 0\) の根は \(f(z) = 0\) の 0 でない根であり、これらの根に対してさまざまな境界を与えることができる。\(C(p) \in M_n\) を多項式 \(p(z)\) のフロベニウスの同伴行列とする。\(C(p)\) の固有値は多項式 \(p\) の根（重複度を含む）である。
(a) 任意の行列ノルム \(\lVert \cdot \rVert\) に対して、\(\tilde{z}\) が \(p(z) = 0\) の根であれば次を示せ：
|\tilde{z}| \le \lVert C(p) \rVert
(b) \(\lVert \cdot \rVert_2\) を用いると次が得られる：
|\tilde{z}| \le \sqrt{n + |a_0|^2 + |a_1|^2 + \dots + |a_{n-1}|^2}
(c) \(\lVert \cdot \rVert_\infty\) を用いると：
|\tilde{z}| \le \max\{|a_0|, 1+|a_1|, \dots, 1+|a_{n-1}|\} \\
\le 1 + \max\{|a_0|, |a_1|, \dots, |a_{n-1}|\}
これは Cauchy の境界として知られる。
(d) \(\lVert \cdot \rVert_1\) を用いると Montel の境界が得られる：
|\tilde{z}| \le \max\{1, |a_0| + |a_1| + \dots + |a_{n-1}|\} \\
\le 1 + |a_0| + |a_1| + \dots + |a_{n-1}|
(e) \(\lVert \cdot \rVert_1\) を用いると次が得られる：
|\tilde{z}| \le (n-1) + |a_0| + |a_1| + \dots + |a_{n-1}|
(f) \(n \lVert \cdot \rVert_\infty\) を用いると：
|\tilde{z}| \le n \max\{1, |a_0|, |a_1|, \dots, |a_{n-1}|\}
行列解析の総本山
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2025.08.05
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