[行列解析5.6.7]定理：行列ノルムの変換とスペクトル半径の上界

5.6.7

定理 5.6.7. \( \lVert \cdot \rVert \) を \( M_n \) 上の行列ノルムとし、\( S \in M_n \) が正則であるとする。このとき、すべての \( A \in M_n \) に対して次の関数

\lVert A \rVert_S = \lVert S A S^{-1} \rVert

は行列ノルムとなる。さらに、もし \( \lVert \cdot \rVert \) が \( \mathbb{C}^n \) 上のノルム \( \lVert \cdot \rVert \) により誘導されているならば、行列ノルム \( \lVert \cdot \rVert_S \) は (5.2.6) で定義される \( \mathbb{C}^n \) 上のノルム \( \lVert \cdot \rVert_S \) によって誘導される。

証明. 公理 (1), (1a), (2), (3) は直接に確認できる。劣乗法性は次の計算から従う：

\lVert AB \rVert_S = \lVert S A B S^{-1} \rVert \\ = \lVert (S A S^{-1})(S B S^{-1}) \rVert \\ \leq \lVert S A S^{-1} \rVert \, \lVert S B S^{-1} \rVert \\ = \lVert A \rVert_S \, \lVert B \rVert_S

最後の主張は次の計算から従う：

\max_{\lVert x \rVert_S = 1} \lVert A x \rVert_S \\ = \max_{\lVert S x \rVert = 1} \lVert S A x \rVert \\ = \max_{\lVert y \rVert = 1} \lVert S A S^{-1} y \rVert \\ = \lVert S A S^{-1} \rVert

式 (5.6.10) は、定理 (5.6.7) が特定の目的に合わせて行列ノルムを調整する例を示している。

行列ノルムの重要な応用の一つは、行列のスペクトル半径 (1.2.9) に対する上界を与えることである。もし \( \lambda \) が \( A \) の固有値であり、\( A x = \lambda x \)、かつ \( x \neq 0 \) であるならば、階数1の行列 \( X = x e^T = [x \ \cdots \ x] \in M_n \) を考えると、\( A X = \lambda X \) となる。任意の行列ノルム \( \lVert \cdot \rVert \) に対して：

(5.6.8)

|\lambda| \, \lVert X \rVert \\ = \lVert \lambda X \rVert \\ = \lVert A X \rVert \\ \leq \lVert A \rVert \, \lVert X \rVert

したがって \( |\lambda| \leq \lVert A \rVert \) である。さらに、ある固有値 \( \lambda \) が存在して \( |\lambda| = \rho(A) \) であることから、結論として \( \rho(A) \leq \lVert A \rVert \) が得られる。次に、\( A \) が正則であり、任意の固有値 \( \lambda \) を考えると、\( \lambda^{-1} \) は \( A^{-1} \) の固有値であるため、\( |\lambda^{-1}| \leq \lVert A^{-1} \rVert \) が成立する。

以上により、次の定理5.6.9が証明された。