5.6.42
定理 5.6.42. 複素ベクトル空間 \( \mathbb{C}^n \) 上の絶対ノルム \( \lVert \cdot \rVert \) が、行列空間 \( M_n \) 上の行列ノルム \( \lVert \!|\cdot|\! \rVert \) を誘導するとする。また、その双対ノルムを \( \lVert \!|\cdot|\! \rVert^D \) とする。このとき、\( \lVert \!|\cdot|\! \rVert^D \) は行列ノルムであり、任意の対角行列 \( \Lambda = \mathrm{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n) \in M_n \) に対して次が成り立つ。
\lVert \!|\Lambda|\! \rVert^D = |\lambda_1| + \cdots + |\lambda_n|
証明. 先行する定理より、\( \lVert \!|\cdot|\! \rVert^D \) が行列ノルムであることは保証されている。ここで
\Lambda = \mathrm{diag}(e^{i\theta_1}|\lambda_1|, \ldots, e^{i\theta_n}|\lambda_n|)
と書き、さらに \( U = \mathrm{diag}(e^{i\theta_1}, \ldots, e^{i\theta_n}) \) とおくと、(5.6.36) より \( \lVert \!|U|\! \rVert = 1 \) が成り立つ。したがって
\lVert \!|\Lambda|\! \rVert^D = \max_{\lVert \!|B|\! \rVert = 1} | \mathrm{tr}(B^* \Lambda) | \\
\geq |\mathrm{tr}(U^* \Lambda)| = |\lambda_1| + \cdots + |\lambda_n|
逆に、\(\Lambda = \lambda_1E_{11} + \cdots + \lambda_nE_{nn}\) と表すことができる。ここで \( E_{ii} = e_i e_i^* \)（式(0.1.7)）である。このとき
\lVert \!|\Lambda|\! \rVert_D \leq \\
\lVert \!|\lambda_1 E_{11}|\! \rVert^D + \cdots + \lVert \!|\lambda_n E_{nn}|\! \rVert^D \\
= |\lambda_1| \lVert \!|E_{11}|\! \rVert^D + \cdots + |\lambda_n| \lVert \!|E_{nn}|\! \rVert^D
したがって、各 \( \lVert \!|E_{ii}|\! \rVert^D = 1 \) を示せば十分である。各 \( E_{ii} \) はランク1行列であるから、(5.6.30) および (5.4.13) より
\lVert \!|E_{ii}|\! \rVert_D = \lVert e_i \rVert \, \lVert e_i \rVert^D \geq 1
さらに、任意のベクトル \( x = [x_i] \in \mathbb{C}^n \) と任意の \( i \in \{1,\ldots,n\} \) に対して、\(|x| \geq |x_i e_i|\) が成り立つので、絶対ノルムの単調性から
\lVert x \rVert = \lVert |x| \rVert \geq \lVert |x_i e_i| \rVert = |x_i| \lVert e_i \rVert
これにより
\lVert e_i \rVert^D \\
= \max_{x \neq 0} \frac{|x^* e_i|}{\lVert x \rVert} \\
= \max_{x \neq 0} \frac{|x_i|}{\lVert x \rVert} \\
\leq \max_{x \neq 0} \frac{\lVert x \rVert}{\lVert x \rVert \lVert e_i \rVert} \\
= \frac{1}{\lVert e_i \rVert}
したがって \(\lVert e_i \rVert \, \lVert e_i \rVert^D \leq 1\) となる。以上より各 \(\lVert e_i \rVert \, \lVert e_i \rVert^D = 1\) が示された。
例. \( M_n \) 上のスペクトルノルムはユニタリ不変であり、絶対ノルムであるユークリッドノルムにより誘導される。定理5.6.39より、その双対ノルム \( \lVert \!|\cdot|\! \rVert_{2}^D \) もユニタリ不変である。したがって、もし \( A \in M_n \) が特異値分解 \( A = V \Sigma W^* \) を持つならば、先の定理から次が得られる。
\lVert \!|A|\! \rVert_{2}^D \\
= \lVert \!|V \Sigma W^*|\! \rVert_{2}^D \\
= \lVert \!|\Sigma|\! \rVert_{2}^D \\
= \mathrm{tr}(\Sigma) \\
= \sigma_1(A) + \cdots + \sigma_n(A) \\
= \lVert \!|A|\! \rVert_{\mathrm{tr}}
定理5.6.42は、この新しいノルム（トレースノルム）がユニタリ不変な行列ノルムであることを保証する。この結果は驚くべきものであり、特異値の総和が \( M_n \) 上で劣加法的または劣乗法的関数であることは自明ではない（式(7.4.7)、(7.4.10)を参照）。
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