[行列解析5.6.38]定義：行列ノルムの双対ノルム

5.6.38

定義 5.6.38. \( \lVert \cdot \rVert \) を \(M_n\) 上のノルムとする。その双対ノルムは、各 \(A \in M_n\) に対して次で定義される。

\lVert A \rVert^D = \max_{\lVert B \rVert = 1} \Re \langle A, B \rangle_F \\ = \max_{\lVert B \rVert = 1} \Re \, \mathrm{tr}(B^* A)

(5.4.12a) の類似式が、\(M_n\) 上のノルム \( \lVert \cdot \rVert \) の双対ノルムに対して代替的な表現として利用可能であることを説明せよ。例えば次のようになる：

\lVert A \rVert^D = \max_{\lVert B \rVert = 1} | \mathrm{tr}(B^* A) | \\ = \max_{\lVert B \rVert \leq 1} | \mathrm{tr}(B^* A) | \\ = \max_{B \neq 0} \frac{| \mathrm{tr}(B^* A) |}{\lVert B \rVert}

\(\lVert \cdot \rVert_F^D = \lVert \cdot \rVert_F\)、すなわち \(M_n\) 上のフロベニウスノルムは自己双対であることを示せ。

ヒント： \(| \langle A, B \rangle_F | \leq \lVert A \rVert_F \lVert B \rVert_F\) が成り立ち、特に \(A = B\) の場合に等号が成立する。