[行列解析5.6.35]定理：誘導行列ノルムとスペクトルノルムの関係

5.6.35

定理 5.6.35. \( \lVert \cdot \rVert \) を \( \mathbb{C}^n \) 上のノルムによって誘導された \( M_n \) 上の行列ノルムとする。このとき次が成り立つ。

(a) \( \lVert \cdot \rVert^{\#} \) はノルム \( \lVert \cdot \rVert_{D} \) によって誘導される。

(b) もし \( \lVert \cdot \rVert \) が自己随伴であり（かつ誘導されている）ならば、それはスペクトルノルムである。

証明. (a) (5.6.2(d)) を用いて次のように計算する。

\lVert A \rVert^{\#} = \lVert A^{*} \rVert \\ = \max_{\lVert x \rVert = \lVert y \rVert^{D} = 1} | y^{*} A^{*} x | \\ = \max_{\lVert x \rVert = \lVert y \rVert^{D} = 1} | x^{*} A y |\\ = \max_{\lVert y \rVert^{D} = 1} \max_{\lVert x \rVert = 1} | x^{*} A y |\\ = \max_{\lVert y \rVert^{D} = 1} \lVert Ay \rVert^{D}

(b) もし \( \lVert \cdot \rVert = \lVert \cdot \rVert^{\#} \) であれば、(a) より \( \lVert \cdot \rVert \) は \( \lVert \cdot \rVert \) および \( \lVert \cdot \rVert^D \) の両方により誘導される。補題 5.6.23 によれば、\( \lVert \cdot \rVert \) は \( \lVert \cdot \rVert^D \) のスカラー倍であり、さらに (5.4.17) によって \( \lVert \cdot \rVert = \lVert \cdot \rVert_2 \) であることが保証される。したがって、\( \lVert \cdot \rVert \) がユークリッドノルムによって誘導される以上、それはスペクトルノルムである。■

(5.4.18) で絶対ノルムと単調ノルムが導入されたが、それらが誘導する行列ノルムには有用な特徴づけが存在する。