[行列解析5.6.17]系：厳密対角優位行列の非特異性（Levy–Desplanques の定理）

5.6.17

系 5.6.17. 行列 \(A = [a_{ij}] \in M_n\) が、すべての i = 1, …, n に対して

|a_{ii}| > \sum_{j \neq i} |a_{ij}|

を満たす場合、行列 \(A\) は非特異である。

証明. 仮定より、A のすべての主対角成分はゼロでない。D = diag(a_{11}, …, a_{nn}) と置くと、D^{-1}A の主対角成分はすべて 1 である。行列 B = I − D^{-1}A = [b_{ij}] とすると、主対角成分はすべて 0 であり、i ≠ j の場合 b_{ij} = −a_{ij}/a_{ii} となる。

最大行和ノルム \(\lVert \cdot \rVert_{\infty}\) を考えると、仮定より \(\lVert B \rVert_{\infty} \lt 1\) が成立する。系 5.6.16 により、I − B = D^{-1}A は非特異であり、したがって A も非特異である。

系 5.6.17 の仮定を満たす行列は「厳密対角優位（strictly diagonally dominant）」であるという。非特異性の十分条件として知られ、Levy–Desplanques の定理と呼ばれる。この定理はさらに改善可能であり、詳しくは (6.1), (6.2), (6.4) を参照。

ここで、(5.6.1) で定義される誘導行列ノルム（induced matrix norm）に注目する。誘導ノルムは最小性の性質を持ち、与えられた行列 A が収束するかどうかを \(\lVert A \rVert \lt 1\) で判定したい場合に、可能な限り小さいノルムを使うことが自然である。すべての誘導ノルムはこの望ましい性質を持ち、これによって特徴付けられる。

有限次元空間における任意の二つのノルムは同値である。したがって、行列ノルム \(\lVert \cdot \rVert_{\alpha}\) と \(\lVert \cdot \rVert_{\beta}\) に対して、正の定数 \(C_{\alpha\beta}\) が存在して

\lVert A \rVert_{\alpha} \le C_{\alpha\beta} \lVert A \rVert_{\beta} \\ \quad \text{for all } A \in M_n

が成立する。この定数は次で計算できる：

C_{\alpha\beta} = \max_{A \neq 0} \frac{\lVert A \rVert_{\alpha}}{\lVert A \rVert_{\beta}}

α と β の役割を逆にした場合、同様に定義された最小正定数 \(C_{\beta\alpha}\) が存在して

\lVert A \rVert_{\beta} \le C_{\beta\alpha} \lVert A \rVert_{\alpha} \\ \quad \text{for all } A \in M_n

となる。一般には \(C_{\alpha\beta}\) と \(C_{\beta\alpha}\) の間に明らかな関係はないが、表 (5.6.P23) の左上 3×3 の部分を見ると対称であり、すなわち三つの誘導ノルム \(\lVert \cdot \rVert_1, \lVert \cdot \rVert_2, \lVert \cdot \rVert_{\infty}\) の任意の組について \(C_{\alpha\beta} = C_{\beta\alpha}\) が成立する。

したがって、誘導ノルムの一般的な性質として次が成立する：もしすべての A に対して \(\lVert A \rVert_{\alpha} \le C \lVert A \rVert_{\beta}\) が成立するなら、逆も成立し、すなわち