5.6.15
定理 5.6.15. スカラーべき級数 \(\sum_{k=0}^{\infty} a_k z^k\) の収束半径を \(R\) とし、\(A \in M_n\) を与える。このとき、行列べき級数
\sum_{k=0}^{\infty} a_k A^k
は \(\rho(A) \lt R\) の場合に収束する。この条件は、\(M_n\) 上の行列ノルム \(\lVert \cdot \rVert\) が存在して \(\lVert A \rVert \lt R\) であれば満たされる。
演習. 解析関数 \(f(z)\) が原点近傍で収束半径 \(R\gt0\) のべき級数
f(z) = \sum_{k=0}^{\infty} a_k z^k
で定義されているとする。行列ノルム \(\lVert \cdot \rVert\) を用いると、\(\lVert A \rVert \lt R\) を満たす任意の \(A \in M_n\) に対して行列関数
f(A) = \sum_{k=0}^{\infty} a_k A^k
は正しく定義されることを説明せよ。さらに一般に、\(\rho(A) \lt R\) を満たす全ての \(A \in M_n\) に対して \(f(A)\) が正しく定義される理由を説明せよ。
例として、指数関数 \(e^z = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} z^k\) の収束半径は無限大であり、したがって行列指数関数
e^A = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} A^k
は全ての \(A \in M_n\) に対して正しく定義される。
さらに、三角関数や対数関数についても同様に行列関数を定義できる。例えば \(\cos A, \sin A, \log(I-A)\) などで、定義域は対応する級数や主値が収束する行列に制限される。
\(A \in M_n\) が対角化可能である場合、\(A = S \Lambda S^{-1}\)、\(\Lambda = \mathrm{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)\)、与えられた複素値関数 \(f\) の定義域が \(\{\lambda_1, \dots, \lambda_n\}\) を含むとき、主要行列関数は次で定義される：
f(A) = S f(\Lambda) S^{-1}, \quad f(\Lambda) = \mathrm{diag}(f(\lambda_1), \dots, f(\lambda_n))
この定義は対角化行列 \(S\) の選び方（非一意性）には依存しない。等しい固有値を \(\Lambda\) 内でまとめておくと、別の対角化 \(A = T \Lambda T^{-1}\) に対して \(T = SR\) となるブロック対角行列 \(R\) が存在し、\(\Lambda R = R \Lambda\) および \(f(\Lambda) R = R f(\Lambda)\) が成り立つ。従って
f(A) = f(T \Lambda T^{-1}) = T f(\Lambda) T^{-1} = S f(\Lambda) S^{-1}
となり、対角化可能な行列の主要行列関数は一意に定義される。
べき級数としてではなく主要行列関数として定義する場合、関数 \(f\) に要求する条件は弱く（解析的である必要はない）、行列にはより強い条件（対角化可能であること）が要求される。非対角化行列の場合も主要行列関数は定義できるが、微分可能性などの追加条件が必要である（Horn and Johnson, 1991, 第6章参照）。
演習. \(A \in M_n\) が対角化可能で、解析関数 \(f(z) = \sum_{k=0}^{\infty} a_k z^k\) が収束半径 \(\gt \rho(A)\) を持つべき級数で定義されているとき、主要行列関数としての定義とべき級数としての定義が一致することを示せ。ヒント：
\sum_{k=0}^{\infty} a_k (S \Lambda S^{-1})^k = S \left( \sum_{k=0}^{\infty} a_k \Lambda^k \right) S^{-1}
行列解析の総本山
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