5.6.12
定理 5.6.12. \( A \in M_n \) が与えられたとする。このとき、次が成り立つ：
\( \lim_{k \to \infty} A^k = 0 \) は、スペクトル半径 \( \rho(A) \lt 1 \) の場合に限り成立する。
証明. まず、もし \( A^k \to 0 \) であり、かつ \( x \neq 0 \) が \( Ax = \lambda x \) を満たすベクトルであれば、\( A^k x = \lambda^k x \to 0 \) となるためには \(|\lambda| \lt 1\) でなければならない。これは \( A \) の全ての固有値に対して成立する必要があるので、\(\rho(A) \lt 1\) が導かれる。
逆に、\(\rho(A) \lt 1\) の場合、(5.6.10) より、ある行列ノルム \( \lVert \cdot \rVert \) が存在して \( \lVert A \rVert \lt 1 \) であることが保証される。したがって、(5.6.11) により \( k \to \infty \) で \( A^k \to 0 \) となる。
演習. 次の行列を考える：
A = \begin{pmatrix} 0.5 & 1 \\ 0 & 0.5 \end{pmatrix} \in M_2
\( k = 2, 3, \dots \) に対して \( A^k \) と \( \rho(A^k) \) を計算せよ。また、\(\rho(A^k) = \rho(A)^k\) となることを確認せよ。さらに、次の項目の挙動を \( k \to \infty \) のとき調べよ：\( A^k \) の各成分、\( \lVert A^k \rVert_1 \)、\( \lVert A^k \rVert_\infty \)、\( \lVert A^k \rVert_2 \) である。
演習. 次の行列とベクトル列を定義する：
A = \begin{pmatrix} 0.5 & 1 \\ -0.125 & 0.5 \end{pmatrix},
\quad
x^{(k+1)} = A x^{(k)}, \; \\
k = 0, 1, 2, \dots
任意の初期ベクトル \( x^{(0)} \) に対して、\( k \to \infty \) で \( x^{(k)} \to 0 \) となることを示せ。ヒント：\( x^{(k)} = A^k x^{(0)} \) とし、適切なノルムを選び次の不等式を利用する：
\lVert x^{(k)} \rVert \leq \lVert A^k \rVert \, \lVert x^{(0)} \rVert
時には、\( k \to \infty \) のときの \( A^k \) の成分の大きさに対する上界が必要となる。その有用な上界は、前述の定理から直ちに導くことができる。
行列解析の総本山
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