[行列解析5.6.11]補題：行列ノルムによる収束行列の特徴付け

5.6.11

補題 5.6.11. \( A \in M_n \) が与えられたとする。もし行列ノルム \( \lVert \cdot \rVert \) が存在して \( \lVert A \rVert \lt 1 \) であれば、次が成り立つ：

\( \lim_{k \to \infty} A^k = 0 \)、すなわち \( k \to \infty \) のとき、\( A^k \) の各成分はゼロに近づく。

証明. \( \lVert A \rVert \lt 1 \) ならば、次が成立する：

\lVert A^k \rVert \leq \lVert A \rVert^k \to 0 \quad \text{as } k \to \infty

これは、ノルム \( \lVert \cdot \rVert \) に関して \( A^k \to 0 \) であることを示している。しかし、n²次元ノルム線形空間 \( M_n \) 上の全てのノルムは同値であるため、ベクトルノルム \( \lVert \cdot \rVert_\infty \) に関しても \( A^k \to 0 \) が成立する。

演習. 前の定理の証明と、(3.2.5) のアプローチを比較せよ。

演習. \( A \in M_n \) と二つの行列ノルム \( \lVert A \rVert_\alpha \) および \( \lVert A \rVert_\beta \) を例として示せ。ただし \( \lVert A \rVert_\alpha \lt 1 \) かつ \( \lVert A \rVert_\beta \gt 1 \) である。この場合、結論として \( \lim_{k \to \infty} A^k = 0 \) か否かを考察せよ。

\( \lim_{k \to \infty} A^k = 0 \) となる行列 \( A \in M_n \) は収束行列 (convergent) と呼ばれ、反復過程の解析や他の多くの応用で重要である。幸いなことに、これらはスペクトル半径の不等式によって特徴付けることができる。