[行列解析5.5.P9]

5.5.問題9

5.5.P9

\(\|\cdot\|\) を \(\mathbb{F}^n\) (\(\mathbb{R}^n\) または \(\mathbb{C}^n\)) 上の絶対ノルムとし、\(z = [z_i] \in \mathbb{F}^n\) を与えられた非零ベクトルとする。さらに、標準基底ベクトル \(e_i\) (\(i = 1, \dots, n\)) を考える。

(a) なぜ \(\|e_i\| \|e_i\|_D \ge 1\) となるのか説明せよ。

(b) なぜ \(|z_i| \|e_i\| = \| |z_i| e_i \| \le \| |z| \| = \|z\|\) となり、かつ \(\|e_i\|_D = \max_{\|y\|=1} |y_i| \le 1 / \|e_i\|\) が成り立つのか説明せよ。

(d) \(\mathbb{F}^n\) 上のノルム \(\nu(\cdot)\) が標準化されているとは、各 \(i = 1, \dots, n\) に対して \(\nu(e_i) = 1\) となることをいう。このとき、絶対標準化ノルムの双対も絶対標準化ノルムであることを説明せよ。