5.2.問題9
5.2.P9
\(-\infty \lt a \lt b \lt \infty\) とし、\(V\) を区間 \([a,b]\) 上の連続実数値関数からなる実内積空間（内積 (5.2.8) を持つもの）とする。与えられた \(f,g \in V\) に対して、任意の \(t \in [a,b]\) について \(-\infty \lt \alpha \leq f(t) \leq \beta \lt \infty\)、\(-\infty \lt \gamma \leq g(t) \leq \delta \lt \infty\) が成り立つと仮定する。このとき、不等式 (5.2.10) から次のグルスの不等式を導け：
(5.2.11)
\begin{align}
& \left|
\begin{aligned}
& \frac{1}{b-a} \int_a^b f(t) g(t) \, dt \\
& \: - \frac{1}{(b-a)^2} \int_a^b f(t) \, dt \int_a^b g(t) \, dt
\end{aligned}
\right| \notag \\
& \leq \frac{(\beta - \alpha)(\delta - \gamma)}{4} \notag
\end{align}
行列解析の総本山
[行列解析]総本山
行列解析の総本山。行列解析の内容を網羅的かつ体系的に整理しています。線形代数の学習を一通り終えた方が、次のステップとして取り組むのに最適です。行列に関する不等式を研究するには、行列解析の知識が欠かせません。
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2025.08.05
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