[行列解析5.2.P8]

5.2.問題8

\(V\) を実または複素内積空間とし、\(u \in V\) を単位ベクトル（導出されたノルムに関して）とする。任意の \(x \in V\) に対して

x_{\perp u} = x - \langle x, u \rangle u

を定義する。このとき以下を示せ：

(a) \(x_{\perp u}\) は \(u\) に直交し、

\lVert x_{\perp u} \rVert^2 = \lVert x \rVert^2 - |\langle x, u \rangle|^2 \leq \lVert x \rVert^2

(b) 任意のスカラー \(\lambda\) に対して \(\lVert x_{\perp u} \rVert = \lVert (x - \lambda u)_{\perp u} \rVert\)。

\langle x, y \rangle - \langle x, u \rangle \langle u, y \rangle = \langle x_{\perp u}, y_{\perp u} \rangle

が成り立つ。したがって、任意の \(x, y, u \in V\) （ただし \(u\) は単位ベクトル）、および任意のスカラー \(\lambda, \mu\) に対して

(5.2.10)

\left| \langle x, y \rangle - \langle x, u \rangle \langle u, y \rangle \right| \\ \leq \lVert x - \lambda u \rVert \lVert y - \mu u \rVert

が成り立つ。さらに、不等式 (5.2.10) における最適な選択は \(\lambda = \langle x, u \rangle, \mu = \langle y, u \rangle\) であることを説明せよ。ただし、これらが常に最も直感的または便利な選択であるとは限らない。