[行列解析5.2.P7]

5.2.問題7
- 5.2.P7
行列解析の総本山

5.2.問題7

5.2.P7

\(\lVert \cdot \rVert\) が実または複素ベクトル空間 \(V\) 上のノルムであるとする。

(a) 任意の非零 \(x, y \in V\) に対して、

(5.2.9)

\left\lVert \frac{x}{\lVert x \rVert} - \frac{y}{\lVert y \rVert} \right\rVert \leq c \frac{\lVert x - y \rVert}{\lVert x \rVert + \lVert y \rVert}, \quad \\ c = 4

が成り立つことを示せ。

(b) 和ノルム \(\lVert x \rVert_1\) を \(\mathbb{R}^2\) 上で考え、ベクトル \(x = [1 \ \varepsilon]^T, y = [1 \ 0]^T\) （ただし \(\varepsilon \gt 0\)）を取る。このとき不等式 (5.2.9) が

\frac{2\varepsilon}{1+\varepsilon} \leq \frac{c\varepsilon}{2+\varepsilon}

となることを示し、不等式 (5.2.9) が任意の実または複素ベクトル空間上のすべてのノルムに対して成り立つのは \(c \geq 4\) のとき、かつそのときに限ることを説明せよ。

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行列解析の総本山。行列解析の内容を網羅的かつ体系的に整理しています。線形代数の学習を一通り終えた方が、次のステップとして取り組むのに最適です。行列に関する不等式を研究するには、行列解析の知識が欠かせません。