[行列解析5.2]ノルムと内積の例

5.ベクトルと行列のノルム

5.2 ノルムと内積の例

ベクトル \(x = [x_1, \ldots, x_n]^T \in \mathbb{C}^n\) のユークリッドノルム(\(l_2\)-ノルム)は、

(5.2.1)
\lVert x \rVert_2 = \left( |x_1|^2 + \cdots + |x_n|^2 \right)^{1/2}

で定義され、最もよく知られたノルムである。これは、二点 \(x, y \in \mathbb{C}^n\) の間の標準的なユークリッド距離 \(\lVert x - y \rVert_2\) を測るからである。このノルムはユークリッド内積から導かれる(すなわち、\(\lVert x \rVert_2 = \langle x, x \rangle^{1/2} = (x^* x)^{1/2}\))。また、ユニタリ不変であり、すべての \(x \in \mathbb{C}^n\) とユニタリ行列 \(U \in M_n\) に対して \(\lVert Ux \rVert_2 = \lVert x \rVert_2\) が成り立つ (2.1.4)。実際、ユークリッドノルムの正のスカラー倍のみが \(\mathbb{C}^n\) 上のユニタリ不変ノルムである(5.2.P6 参照)。

\(\mathbb{C}^n\) 上の和ノルム(\(l_1\)-ノルム)は次で与えられる:

(5.2.2)
\lVert x \rVert_1 = |x_1| + \cdots + |x_n|

このノルムは「マンハッタンノルム(タクシーノルム)」とも呼ばれ、直交する道路網においてタクシーが走る距離を表すモデルである。

演習.

\(\lVert \cdot \rVert_1\) が \(\mathbb{C}^n\) 上のノルムであることを確認せよ。問題 5.2.P7 では、\(\lVert \cdot \rVert_1\) が極化恒等式を満たさないこと、したがって内積から導かれないことを示している。さらに、平行四辺形恒等式を満たさない具体例を示せ。

\(\mathbb{C}^n\) 上の最大ノルム(\(l_\infty\)-ノルム)は次で与えられる:

(5.2.3)
\lVert x \rVert_\infty = \max \{ |x_1|, \ldots, |x_n| \}

問題 5.2.P5 によれば、\(\lVert \cdot \rVert_\infty\) も内積から導かれるものではない。

\(\mathbb{C}^n\) 上の \(l_p\)-ノルムは次で定義される:

(5.2.4)
\lVert x \rVert_p = \left( |x_1|^p + \cdots + |x_n|^p \right)^{1/p}, \quad p \geq 1

演習.

\(p \geq 1\) に対して \(\lVert \cdot \rVert_p\) が \(\mathbb{C}^n\) 上のノルムであることを確認せよ。ヒント:\(l_p\)-ノルムの三角不等式はミンコフスキーの和不等式である(付録 B9 参照)。

\(\mathbb{C}^n\) 上の重要な離散的ノルム族は、和ノルムと最大ノルムの間をつなぐものである。各 \(k = 1, \ldots, n\) に対して、ベクトル \(x\) の \(k\)-ノルムは、成分の絶対値を大きい順に並べ、上位 \(k\) 個を足すことによって定義される:

\lVert x \rVert_{[k]} = |x_{i_1}| + \cdots + |x_{i_k}|, 
\quad \text{ただし } |x_{i_1}| \geq \cdots \geq |x_{i_n}|

(5.2.5) \(k\)-ノルムは、ユニタリ不変行列ノルムの理論において重要な役割を果たす(7.4.7 参照)。

演習.

各 \(k = 1, 2, \ldots, n\) に対して \(\lVert \cdot \rVert_{[k]}\) が \(\mathbb{C}^n\) 上のノルムであることを確認せよ。また次を示せ:

\lVert \cdot \rVert_\infty = \lVert \cdot \rVert_{[1]} \leq \lVert \cdot \rVert_{[2]} \leq \cdots \leq \lVert \cdot \rVert_{[n]} = \lVert \cdot \rVert_1

任意のノルムを \( \mathbb{C}^n \) 上に定義すれば、基底を通して \(n\) 次元の実または複素ベクトル空間 \(V\) にノルムを定義することができます。もし \( B = \{ b^{(1)}, \ldots, b^{(n)} \} \) が \(V\) の基底であり、\( x = \sum_{i=1}^n x_i b^{(i)} \) を基底ベクトルの一意な線形結合として表すならば、写像

x \mapsto [x]_B = [x_1 \ \cdots \ x_n]^T \in \mathbb{C}^n

は \(V\) から \( \mathbb{C}^n \) への同型写像となります。もし \( \lVert \cdot \rVert \) が \( \mathbb{C}^n \) 上の任意のノルムであるならば、

\lVert x \rVert_B = \lVert [x]_B \rVert

は \(V\) 上のノルムとなります。

演習.

上記の主張を確認せよ。

演習.

\( \ell_p\)-ノルムおよび \(k\)-ノルムが絶対ノルムであり、置換に対して不変であること、すなわち任意の \(x \in \mathbb{C}^n\) と置換行列 \(P \in M_n\) に対して \(\lVert x \rVert = \lVert Px \rVert\) が成り立つことを確認せよ。これらのノルムのうち、どれがユニタリ不変であるかを調べよ。

いま、\( S \in M_{m,n} \) がフルカラムランクを持つと仮定しよう(すなわち \( m \geq n\))。このとき、\( \mathbb{C}^m \) 上の与えられたノルム \(\lVert \cdot \rVert\) を用いて、次を定義する:

\lVert x \rVert_S = \lVert Sx \rVert \quad (5.2.6)

\( x \in \mathbb{C}^n \) に対して、\(\lVert \cdot \rVert_S\) は \( \mathbb{C}^n \) 上のノルムとなります。

演習.

上記の主張を確認せよ。もし \(S\) がフルカラムランクを持たない場合、どうなるかを考察せよ。

演習.

どのような正則行列 \( S \in M_2 \) と \( \mathbb{C}^2 \) 上のノルムに対して、関数

\left( |2x_1 - 3x_2|^2 + |x_2|^2 \right)^{1/2}

が \(\lVert Sx \rVert\) の形のノルムになるかを確認せよ。

複素ベクトル空間 \( V = M_{m,n} \) をフロベニウス内積で考える:

\langle A, B \rangle_F = \operatorname{tr}(B^* A) \quad (5.2.7)

このフロベニウス内積から導かれるノルムは \(M_{m,n}\) 上の \(\ell_2\)-ノルム(フロベニウスノルム)であり、

\lVert A \rVert_2 = \left( \operatorname{tr}(A^* A) \right)^{1/2}

これは (2.5.2) の証明において重要な役割を果たしました。

演習.

\(M_{m,n}\) 上のフロベニウス内積が内積の公理を満たすことを確認せよ。

演習.

\( M_{m,1} \) 上のフロベニウス内積はどのような形になるか。

ノルムや内積の定義は、基礎となるベクトル空間が有限次元であることを必要としません。例えば、実区間 \([a,b]\) 上のすべての連続実数値または複素数値関数の空間 \( C[a,b] \) 上の4つのノルムを挙げます:

\lVert f \rVert_2 = \left( \int_a^b |f(t)|^2 \, dt \right)^{1/2} \quad \text{L}^2\text{-ノルム}
\lVert f \rVert_1 = \int_a^b |f(t)| \, dt \quad \text{L}^1\text{-ノルム}
\lVert f \rVert_p = \left( \int_a^b |f(t)|^p \, dt \right)^{1/p}, \quad p \geq 1 \quad \text{L}^p\text{-ノルム}
\lVert f \rVert_\infty = \max \{ |f(x)| : x \in [a,b] \} \quad \text{L}^\infty\text{-ノルム}

演習.

次で定義される

\langle f, g \rangle = \int_a^b f(t) g(t) \, dt \quad (5.2.8)

が \( C[a,b] \) 上の内積であり、かつ \(L^2\)-ノルムがそこから導かれることを確認せよ。


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