5.1.問題14
5.1.P14
実数 \(x_1, \ldots, x_n\) が与えられているとする。その平均を \(\mu = n^{-1}\sum_{i=1}^n x_i\)、分散を \(\sigma = \left( n^{-1}\sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2 \right)^{1/2}\) とする。コーシー–シュワルツの不等式を用いて、任意の \(j \in \{1,\ldots,n\}\) に対して次が成り立つことを示せ：
(x_j - \mu)^2 \leq (n - 1)\sigma^2
ただし、ある \(j\) について等号が成り立つのは、全ての \(p, q \neq j\) に対して \(x_p = x_q\) が成り立つ場合に限られる。この結果、次の鋭い評価式が得られる：
\mu - \sigma \sqrt{n - 1} \leq x_j \leq \mu + \sigma \sqrt{n - 1}
この評価は、E. N. Laguerre (1880) と P. N. Samuelson (1968) の名前に結びついている。
行列解析の総本山
[行列解析]総本山
行列解析の総本山。行列解析の内容を網羅的かつ体系的に整理しています。線形代数の学習を一通り終えた方が、次のステップとして取り組むのに最適です。行列に関する不等式を研究するには、行列解析の知識が欠かせません。
am-gm.com
2025.08.05
コメント