5.1.問題13
5.1.P13
\( \lVert \cdot \rVert \) を内積から導かれるノルムとする。次のフラフな証明の詳細を補って、フラフカの不等式を示せ：
\lVert x + y \rVert + \lVert x + z \rVert + \lVert y + z \rVert \leq \lVert x + y + z \rVert + \lVert x \rVert + \lVert y \rVert + \lVert z \rVert
(a) (5.1.13) の左辺を \(s\)、右辺を \(h\) とする。\(s \leq h\) を示すには、\(h^2 - hs \geq 0\) を示せば十分である。
(b) 次を計算する：
h^2 - hs = \lVert x + y + z \rVert^2 + \lVert x \rVert^2 + \lVert y \rVert^2 + \lVert z \rVert^2 - \lVert x + y \rVert^2 - \lVert x + z \rVert^2 - \lVert y + z \rVert^2 \\ + (\lVert x \rVert + \lVert y \rVert - \lVert x + y \rVert)(\lVert z \rVert - \lVert x + y \rVert + \lVert x + y + z \rVert) \\ + (\lVert y \rVert + \lVert z \rVert - \lVert y + z \rVert)(\lVert x \rVert - \lVert y + z \rVert + \lVert x + y + z \rVert) \\ + (\lVert z \rVert + \lVert x \rVert - \lVert z + x \rVert)(\lVert y \rVert - \lVert z + x \rVert + \lVert x + y + z \rVert)
(c) ノルムが内積から導かれているという仮定を使って、上の最初の行がゼロであることを示す。
(d) 三角不等式を使って、最後の3行に出てくる各積の因子が非負であることを示す。
行列解析の総本山
[行列解析]総本山
行列解析の総本山。行列解析の内容を網羅的かつ体系的に整理しています。線形代数の学習を一通り終えた方が、次のステップとして取り組むのに最適です。行列に関する不等式を研究するには、行列解析の知識が欠かせません。
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2025.08.05
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