定理 5.1.8
定理 5.1.8. \(\langle \cdot , \cdot \rangle\) を体 \(F\) （\(F = \mathbb{R}\) または \(\mathbb{C}\)）上のベクトル空間 \(V\) における半内積とする。このとき、すべての \(x, y \in V\) に対して
|\langle x, y \rangle|^2 \leq \langle x, x \rangle \langle y, y \rangle
が成立し、さらに関数 \(\|\cdot\| : V \to [0, \infty)\) を \(\|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}\) によって定めると、これは \(V\) 上の半ノルムとなる。
証明. \(x, y \in V\) を任意にとる。多項式 \(p(t) = \langle tx - e^{i\theta}y, tx - e^{i\theta}y \rangle\) を考える。このとき
p(t) = t^2 \|x\|^2 - 2t \, \mathrm{Re}\left(e^{-i\theta} \langle x, y \rangle\right) + \|y\|^2 \geq 0
\quad (t, \theta \in \mathbb{R})
を得る。ここで、\(\mathrm{Re}(e^{-i\theta} \langle x, y \rangle) = |\langle x, y \rangle|\) となる \(\theta\) を選ぶ。もし \(\|x\| = 0\) かつ \(\langle x, y \rangle \neq 0\) ならば、
p(t) = 2t |\langle x, y \rangle| + \|y\|^2
となり、十分大きな負の \(t\) に対しては \(p(t)\) が負となってしまう。したがって、\(\|x\| = 0\) のときは \(\langle x, y \rangle = 0\) が成り立つ。この場合にも不等式
|\langle x, y \rangle|^2 \leq \|x\|^2 \|y\|^2
は有効である。次に \(\|x\| \neq 0\) の場合を考える。このとき \(t_0 = \dfrac{|\langle x, y \rangle|}{\|x\|^2}\) とおくと、
p(t_0) = - \frac{|\langle x, y \rangle|^2}{\|x\|^2} + \|y\|^2 \geq 0
が成り立つので、
|\langle x, y \rangle|^2 \leq \|x\|^2 \|y\|^2
が導かれる。したがって、(5.1.7) の証明と同様に、\(\|\cdot\|\) が半ノルムであることが従う。これは、半内積に対するコーシー–シュワルツの不等式が、\(\|\cdot\|\) の三角不等式を保証するためである。
演習. \(A = \mathrm{diag}(1,0) \in M_2\) とする。このとき \(\langle x, y \rangle = y^*Ax\) が \(\mathbb{C}^2\) 上の半内積を定めることを示せ。独立なベクトル \(x = [1 \ 0]^T, \; y = [1 \ 1]^T\) を考える。このとき
|\langle x, y \rangle|^2 = \langle x, x \rangle \langle y, y \rangle \neq 0
が成り立つことを示せ。したがって、内積の場合に成り立つコーシー–シュワルツの不等式における等号成立の有用な特徴づけは、半内積に一般化すると失われることがわかる。
行列解析の総本山
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