系 5.1.7
系 5.1.7. 内積 \(\langle \cdot , \cdot \rangle\) が実または複素ベクトル空間 \(V\) 上に与えられているとする。このとき、関数 \(\| \cdot \| : V \to [0, \infty)\) を \(\|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}\) によって定めると、これは \(V\) 上のノルムである。
演習. (5.1.7) を証明せよ。ヒント：三角不等式を確認するために、\(\|x + y\|^2 = \langle x + y, x + y \rangle\) を計算し、コーシー–シュワルツの不等式を用いよ。
実または複素ベクトル空間 \(V\) 上に内積 \(\langle \cdot , \cdot \rangle\) が与えられている場合、関数 \(\|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}\) を \(V\) 上の内積から誘導されたノルムと呼ぶ。（すなわち、与えられた \(\langle \cdot , \cdot \rangle\) から得られる。）(5.1.7) により、この \(\|\cdot\|\) が \(V\) 上のノルムであることが保証される。実または複素ベクトル空間 \(V\) と与えられた内積 \(\langle \cdot , \cdot \rangle\) の組を内積空間と呼ぶ。さらに、その誘導ノルムを備えた内積空間は、ノルム線形空間でもある。
関数 \(\langle \cdot , \cdot \rangle : V \times V \to F\) が (5.1.3) の内積の公理 (1), (2), (3), (4) を満たすが、必ずしも (1a) を満たさない場合、その関数を半内積（semi-inner product）と呼ぶ。これは随伴線形な関数であり、任意の \(x \in V\) に対して \(\langle x, x \rangle \geq 0\) を満たす。半内積に関する重要な事実は、内積と同様に、コーシー–シュワルツの不等式を満たすという点である。
行列解析の総本山
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