[行列解析4.6.P18]

4.6.問題18

4.6.P18

\(A \in M_n\) を \(A = A_1 + i A_2\) と書き、\(A_1, A_2 \in M_n(\mathbb{R})\) とする。その実表現を次のように定義する:

R_2(A) = 
\begin{pmatrix}
A_1 & A_2 \\
A_2 & -A_1
\end{pmatrix} \in M_{2n}(\mathbb{R})

ここで \(x = u + i v \neq 0\)、\(u, v \in \mathbb{R}^n\)、\(w = \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}\)、\(T = \begin{pmatrix} 0 & I_n \\ -I_n & 0 \end{pmatrix}\)、および \(z = T w\) とする。

(a) 次を示せ: \(A \bar{x} = \sigma x, \sigma \in \mathbb{R} \iff \begin{pmatrix} \mathrm{Re} A \bar{x} \\ \mathrm{Im} A \bar{x} \end{pmatrix} = \sigma \begin{pmatrix} \mathrm{Re} x \\ \mathrm{Im} x \end{pmatrix} \iff R_2(A) w = \sigma w, \sigma \in \mathbb{R}\)。これは通常の実固有値問題である。

(b) 次を示せ: \(A \bar{x} = \sigma x, \sigma \in \mathbb{R} \iff A(i x) = -\sigma (i x), \sigma \in \mathbb{R} \iff R_2(A) z = -\sigma z, \sigma \in \mathbb{R}\)

(c) (1.3.P21(f)) を用いて、\(R_2(A)\) の非ゼロ固有値は ± ペアで現れ、非実固有値は共役ペアで現れることを示せ。

(d) 次を説明せよ:\(A\) が共役-固有値を持つのは、\(R_2(A)\) が実固有値を持つ場合に限り、それは \(A \bar{A}\) が非負の実固有値を持つ場合に限る。

(e) \(\sigma\) が \(R_2(A)\) の正の固有値で幾何重複度 \(g \ge 1\) とする。\(w_1, ..., w_g\) を \(\sigma\) に対応する一次独立(\(\mathbb{R}\) 上)固有ベクトルとし、次を定義する:

w_j = \begin{pmatrix} u_j \\ v_j \end{pmatrix}, \quad
z_j = T w_j, \quad
y_j = u_j + i v_j, \quad \\
\alpha_j, \beta_j \in \mathbb{R}, \quad
c_j = \alpha_j + i \beta_j, \quad j = 1, \dots, g

なぜ \(z_1, ..., z_g\) が \(-\sigma\) に対応する一次独立(\(\mathbb{R}\) 上)固有ベクトルであるかを説明せよ。さらに次を示せ:

\sum_{j=1}^{g} c_j y_j = 0 \\
\implies 
\sum_{j=1}^{g} \alpha_j u_j = \sum_{j=1}^{g} \beta_j v_j, \quad \\
\sum_{j=1}^{g} \alpha_j v_j = - \sum_{j=1}^{g} \beta_j u_j \\
\implies 
\sum_{j=1}^{g} \alpha_j w_j = - \sum_{j=1}^{g} \beta_j z_j \\
\implies 
\sum_{j=1}^{g} \alpha_j \sigma w_j = \sum_{j=1}^{g} \beta_j \sigma z_j \\
\implies 
\sum_{j=1}^{g} \alpha_j w_j = 0, \ \sum_{j=1}^{g} \beta_j z_j = 0 \\
\implies \alpha_1 = \cdots = \alpha_g = 0, \\
\ \beta_1 = \cdots = \beta_g = 0 \\
\implies c_1 = \cdots = c_g = 0

結論として、\(y_1, ..., y_g\) は正の共役-固有値 \(\sigma\) に対応する一次独立(\(\mathbb{C}\) 上)共役-固有ベクトルである。 (f) (1.3.P21(c)) を用いて、\(g\) が \(A \bar{A}\) の固有値 \(\sigma^2\) の幾何重複度に等しいことを示せ。


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