[行列解析4.6.P17]

4.6.問題17

4.6.P17

\(A \in M_n\) が与えられ、\(\lambda\) が \(A \bar{A}\) の正の固有値で幾何重複度 \(g \ge 1\) とする。また \(\sigma = \sqrt{\lambda} > 0\) とする。\(x_1, ..., x_g\) を \(\lambda\) に対応する \(A \bar{A}\) の一次独立な固有ベクトルとし、\(X = [x_1 ... x_g] \in M_{n,g}\) とすると、\(\mathrm{rank}\,X = g\) かつ \(A \bar{A} X = \lambda X\) となる。このとき、\(Y = [y_1 ... y_g] \in M_{n,g}\) を構成し、\(\mathrm{rank}\,Y = g\) かつ \(A \bar{Y} = \sigma Y\) となるようにすることで、\(Y\) の列が共役-固有空間（coneigenspace、g 次元の実ベクトル空間）の基底となることを示せ。

恒等式 \(A \bar{A} X = \lambda X\) が \(\mathrm{rank}\,A \bar{X} = g\) を意味する理由を説明せよ。また、\(X\) の列空間が \(A \bar{A}\) の \(\lambda\) に対応する固有空間に等しい理由を示せ。この恒等式により、ある \(B \in M_g\) が存在して \(A \bar{X} = X B\) となる理由を説明せよ。なぜ \(B\) は一意であり、非特異であるかを示せ。

アルゴリズム I 線形系 \(A \bar{X} = X B\) を解くことで行列 \(B\) を求める。なぜこれが可能か？\(\mathrm{rank}(B + e^{2i\theta} \sigma I) ^lt g\) であるのは、\(-e^{2i\theta} \sigma\) が \(B\) の固有値である場合に限る。このため、\(B + e^{2i\theta} \sigma I\) がフルカラムランクを持たない \(\theta \in [0, \pi)\) は最大で g 個である。任意の \(\theta \in [0, \pi)\) を選び、\(\mathrm{rank}(B + e^{2i\theta} \sigma I) = g\) として、\(Y = e^{-i\theta} X (B + e^{2i\theta} \sigma I)\) とする。これにより \(\mathrm{rank}\,Y = g\) かつ \(A \bar{Y} = \sigma Y\) が確認できる。各列（すなわち生成される共役-固有ベクトル）は、すべての固有ベクトル \(x_1, ..., x_g\) の線形結合を回転させたものであることに注意せよ。

アルゴリズム II 恒等式 \(X B = A \bar{X}\) を用いて、\(e^{-i\theta} X(B + e^{2i\theta} \sigma I) = e^{-i\theta} A \bar{X} + e^{i\theta} \sigma X\) と書ける。この式がフルカラムランクを持たない \(\theta \in [0, \pi)\) は最大で g 個である。任意の \(\theta \in [0, \pi)\) を選び、\(Y = e^{-i\theta} A \bar{X} + e^{i\theta} \sigma X\) とする。これにより \(A \bar{Y} = \sigma Y\) が確認できる。適切な \(\theta\) は試行錯誤（guess and check）で特定できる。各列は \(y_j = e^{-i\theta} A x_j + e^{i\theta} x_j, j = 1, ..., g\) の形をしており、各 \(y_j\) は \(x_j\) のみに依存する。

アルゴリズム III \(\lambda X = A \bar{A} X = A(A \bar{X}) = A(X B) = X B \bar{B}\) が成り立つことを確認し、なぜ \(B \bar{B} = \lambda I\) すなわち \(\sigma^{-1} B\) が共反転行列であるかを説明せよ。もし \(C\) が共反転行列であれば、\(C = E^2\) となる共反転行列 \(E\) が存在することが知られている（Horn and Johnson, 1991, (6.4.22)）。\(\sigma^{-1} B = E^2\) とおき、\(Y = X E\) とすると、\(\mathrm{rank}\,Y = g\) かつ \(A \bar{Y} = \sigma Y\) が確認できる。各列は \(x_1, ..., x_g\) の線形結合であり、その係数行列はある種の回転を表す（\(E \bar{E} = I\））。

これら 3 つのアルゴリズムは、\(g = 1\) の場合に何を生成するか？(4.6.6) と比較せよ。