[行列解析4.6.P16]

4.6.問題16

\(A \in M_n\) が与えられ、\(\lambda\) が \(A \bar{A}\) の正の固有値であり幾何重複度 \(g \ge 1\) とする。また \(\sigma = \sqrt{\lambda} > 0\) とする。

(a) \(z_1, ..., z_k\) が一次独立（\(\mathbb{C}\) 上）で \(A z_j = \sigma z_j\) を満たす場合、なぜ \(k \le g\) かを説明せよ。

(b) (4.6.12) を用いて、\(g\) 個の一次独立（\(\mathbb{C}\) 上）ベクトル \(z_1, ..., z_g\) が存在し、\(A z_j = \sigma z_j\) を満たすことを示せ。

(d) (a) および 4.6.P3 により、共役-固有空間の次元が \(g\) 以下である理由を説明せよ。

(e) 結論として、共役-固有空間は \(g\) 次元の実ベクトル空間である。

次の 2 問では、与えられた正の共役-固有値 \(\sigma\) に対応する共役-固有空間の基底を求めるための 4 つのアルゴリズムを示す。ここでは、\(A \bar{A}\) の固有値 \(\sigma^2\) に対応する固有空間の基底が与えられている。