4.6.問題10
4.6.P10
\(A \in M_n\) が対称行列であるとする。(4.6.11) の主張から、\(A\) が共対角化可能(必ずしもユニタリでない)であることを導け。さらに次の3ステップで (4.6.11) の証明を修正し、共対角化がユニタリ行列を用いて達成できることを示せ:
(a) なぜ \(S\) をユニタリとできるのかを説明せよ。
(b) なぜ各ブロック \(B_{ii}\) が対称であるのか?(2.5.18) を用いて \(\sigma_j^{-1} B_{jj} = R_j^2 = R_j \bar{R}_j^{-1}\) を示せ。ただし \(R_j = Q_j D_j Q_j^T\) で、\(Q_j\) は実直交行列、\(D_j\) は対角かつユニタリである。
(c) なぜ \(R\) をユニタリとできるのかを説明せよ。これらを組み合わせることで、(4.4.4c) の別の証明を得ることができる。
行列解析の総本山

[行列解析]総本山
行列解析の総本山。行列解析の内容を網羅的かつ体系的に整理しています。線形代数の学習を一通り終えた方が、次のステップとして取り組むのに最適です。行列に関する不等式を研究するには、行列解析の知識が欠かせません。
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