[行列解析4.6.2]定義（反三角化可能・共役対角化可能）

4.6.2

定義 4.6.2　

行列 \(A \in M_{n}\) が反三角化可能（contriangularizable）であるとは、正則な \(S \in M_{n}\) が存在して \(S^{-1} A \overline{S}\) が上三角行列となることをいいます。同様に、ブロック反三角化可能（block contriangularizable）とは、\(S^{-1} A \overline{S}\) がブロック上三角行列となることを指します。また、もし \(S\) を適切に選んで \(S^{-1} A \overline{S}\) が対角行列となる場合、\(A\) は共役対角化可能（condiagonalizable）といいます。さらに、もしそれがユニタリ合同で所望の形に変換できるなら、ユニタリ反三角化可能（unitarily contriangularizable）あるいはユニタリ共役対角化可能（unitarily condiagonalizable）と呼ばれます。

私たちは (4.4.4) において、ユニタリ合同による三角化（unitary contriangularization）やユニタリ合同による対角化（unitary condiagonalization）に出会いました。

もし \(A \in M_{n}\) が反三角化可能であり、かつ

S^{-1} A \overline{S}

が上三角行列であるならば、計算により次のことが分かります：

\overline{T} = S^{-1} (A \overline{A}) S

の主対角成分は非負になります。

逆に、もし \(A \overline{A}\) のすべての固有値が非負であるならば、(4.4.4) により \(A\) はユニタリ反三角化可能であることが保証されます。

一方で、もし \(A \overline{A}\) の固有値のいくつかが非実数であるか、あるいは実数であっても負であるならば、\(A\) は反三角化可能ではありません。しかし (4.4.9) により、\(A\) がブロック反三角化可能であることが保証されます。その場合、対角ブロックのサイズは 1 または 2 となります。これらの対角ブロックは、\(A \overline{A}\) の固有値のうち、非実数で共役なペア、あるいは実数で負かつ等しいものに対応します。