[行列解析4.5.P36]

4.5.問題36

4.5.P36

\(A, B ∈ M_n\) はエルミート行列とする。\(A\) が不定であり、\(x ∈ C^n\) で \(x^* A x = 0\) のとき常に \(x^* B x = 0\) となると仮定する。

(a) ある実数 \(κ\) が存在して \(B = κ \)A となることを示せ。特に、\(A\) と \(B\) は ∗合同によって同時対角化可能である。

(b) 仮定を \(A, B ∈ M_n(R)\) が対称である場合に変更しても、主張 (a) は正しいことを示せ。すなわち、\(A\) が不定で \(x^T A x = 0\) のとき常に \(x^T B x = 0\) となる場合である。

(c) 前問を用いて、\(A\) が不定であるという仮定を省略できない理由を説明せよ。


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