[行列解析4.5.P24]

4.5.問題24

4.5.P24

\(F = \{A_1, \dots, A_k\} ⊂ M_n\) を複素対称行列族、\(H = \{B_1, \dots, B_m\} ⊂ M_n\) をエルミート行列族とし、\(G = \{A_i \overline{A_j} : i, j = 1, \dots, k\}\) とする。もし \(U ∈ M_n\) が単位行列で、すべての \(U A_i U^T\) とすべての \(U B_j U^*\) が対角化可能であるなら、\(G\) と \(H\) は可換族であり、すべての \(i,j\) に対して \(B_j A_i\) は対称であることを示せ。\(k = m = l \)の場合、これは何に帰着し、(4.5.15(c)) とどのように関係するか？これらの条件もまた \(F\) と \(H\) の合同による同時対角化を保証するのに十分である。