[行列解析4.5.P20]

4.5.問題20

4.5.P20

\(A ∈ M_n\) とし、その特性多項式を \(p_A(t) = t^n + a_{n-1}(A)t^{n-1} + \cdots + a_1(A)t + a_0(A)\) とする。

(a) 係数 \(a_i(A)\)（\(i = 0, 1, \cdots, n − 1\)）は \(A\) の固有値の初等対称関数である (1.2.15)。

(1.2.15)

p_A(t) = t^n - S_1(A) t^{n-1} + \cdots + (-1)^{n-1} S_{n-1}(A) t + (-1)^n S_n(A)

なぜこれらの係数は \(A\) の連続関数となるか説明せよ。

(b) \(A\) が正規である場合、\(\text{rank } A = r\) が示すのは、\(A\) は正確に \(r\) 個の非零固有値（\(\lambda_1, \dots, \lambda_r\) とする）を持ち、従って \(a_{n-r+1}(A) = a_{n-r+2}(A) = \cdots = a_0(A) = 0\) であり \(a_{n-r}(A) = \lambda_1 \cdots \lambda_r\) であることを説明せよ。

(c) \(S ⊂ M_n\) をすべて同じランク \(r\) を持つエルミート行列の連結集合とする。

このとき \(S\) の任意の行列は同じ慣性を持つことを示せ。

(d) \(S\) が連結でない場合、(c) の主張が正しくない例を示せ。