[行列解析4.5.P15]

4.5.問題15

(a) 反対角線より下の全ての要素がゼロであるハンケル行列は、最初の行の要素によって完全に決定される理由を説明せよ。

(b) 標準ブロック \(\Delta_k\) (4.5.19) の逆行列は、反対角線より下の要素が全てゼロであるハンケル行列であり、最初の行は 1, −i, −1, i, 1, −i, −1, i, … の順に右から左へ入力して構成される。

例えば、\(\Delta_3^{-1}\) の最初の行は [−1 − i, 1]、
\(\Delta_4^{-1}\) の最初の行は [i, −1, −i, 1]、
\(\Delta_5^{-1}\) の最初の行は [1, i, −1, −i, 1] である。

これを用いて \(\Delta_k^{-1}\) の形から \(\Delta_k^{-1} \Delta_k\) を計算して確認せよ。

(c) \(\Delta_k^{-∗} \Delta_k\) が上三角行列（実際にはテプリッツ行列）で、主対角線の要素が全て +1、第1上対角線の要素が全て 2i であることを示せ。

(d) \(\Delta_k^{-∗} \Delta_k\) のジョルダン標準形が \(J_k(1)\) である理由を説明せよ。