[行列解析4.5.P11]

4.5.問題11

4.5.P11

\(A \in M_n\) が非零かつ正規であるとする。

非零固有値を \(\lambda_1 = |\lambda_1| e^{i\theta_1}, \dots, \lambda_r = |\lambda_r| e^{i\theta_r}\) とし、各 \(\theta_j ∈ [0, 2\pi)\) とする。

また \(\Lambda = \text{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_r)\) とする。

(a) \(A\) が (4.5.23) の三つの条件すべてを満たす理由を詳しく説明せよ。(それぞれ正当化し、単に一つだけ証明して同値性を引用しないこと)

(b) \(A\) の ∗合同標準形は \([e^{i\theta_1}] ⊕ \dots ⊕ [e^{i\theta_r}] ⊕ 0_{n-r}\) であることを示せ。

(c) 角度 \(\theta_1, \dots, \theta_r\) の中に \(d\) 個の異なる角 \(\phi_1, \dots, \phi_d\) が存在し、それぞれの重複度が \(n_1, \dots, n_d\) で \(n_1 + \dots + n_d = r\) の場合、各 \(\phi_j\) は重複度 \(n_j\) の \(A\) の標準角であることを示せ。

(d) 各半直線 \(\{ r e^{i\phi_j} : 0 \lt r \lt ∞ \}\) 上には正確に \(n_j\) 個の \(A\) の固有値が存在することを示せ。

(e) \(B ∈ M_n\) が正規である場合、B が ∗合同で A と合同であるのは、かつそのときに限り \(\text{rank } B = \text{rank } A\) かつ各半直線 \(\{ r e^{i\phi_j} : 0 \lt r \lt ∞ \}\) 上に正確に \(n_j\) 個の固有値を持つ場合である。