[行列解析4.5.9]定理（Ostrowski）

4.5.9

定理 4.5.9（Ostrowski）：

\(A, S \in M_n\) とし、\(A\) はエルミート行列、\(S\) は非特異行列とする。\(A\)、\(SAS^{*}\)、および \(SS^{*}\) の固有値を昇順に並べる（4.2.1）。\(S\) の特異値を \(\sigma_{1} \geq \cdots \geq \sigma_{n} \gt 0\) とする。このとき、各 \(k = 1, \ldots, n\) に対して、ある正の実数 \(\theta_k \in [\sigma_{n}^{2}, \sigma_{1}^{2}]\) が存在して、次が成り立つ。

(4.5.10)

\lambda_k(SAS^{*}) = \theta_k \lambda_k(A)

証明：

まず \(\sigma_{n}^{2} = \lambda_{1}(SS^{*}) \leq \cdots \leq \lambda_{n}(SS^{*}) = \sigma_{1}^{2}\) に注意する。\(1 \leq k \leq n\) とし、エルミート行列 \(A - \lambda_k(A)I\) を考える。この行列の昇順に並べた \(k\) 番目の固有値は 0 である。先行する演習と定理によれば、各 \(j = 1, \ldots, n\) に対して、昇順に並べた \(A - \lambda_k(A)I\) と \(S(A - \lambda_k(A)I)S^{*} = SAS^{*} - \lambda_k(A)SS^{*}\) のそれぞれの \(j\) 番目の固有値は同じ符号（負、ゼロ、正）を持つ。

したがって、\(A - \lambda_k(A)I\) の \(k\) 番目の固有値が 0 であることから、(4.3.2a,b) により次が得られる。

0 = \lambda_k(SAS^{*} - \lambda_k(A)SS^{*}) \\ \leq \lambda_k(SAS^{*}) + \lambda_n(-\lambda_k(A)SS^{*}) \\ = \lambda_k(SAS^{*}) - \lambda_1(\lambda_k(A)SS^{*})

0 = \lambda_k(SAS^{*} - \lambda_k(A)SS^{*}) \\ \geq \lambda_k(SAS^{*}) + \lambda_1(-\lambda_k(A)SS^{*}) \\ = \lambda_k(SAS^{*}) - \lambda_n(\lambda_k(A)SS^{*})

これらを組み合わせると次の範囲が得られる。

\lambda_1(\lambda_k(A)SS^{*}) \leq \lambda_k(SAS^{*}) \leq \lambda_n(\lambda_k(A)SS^{*})

もし \(\lambda_k(A) \lt 0\) ならば、

\lambda_1(\lambda_k(A)SS^{*}) = \lambda_k(A)\lambda_n(SS^{*}) = \lambda_k(A)\sigma_{1}^{2}, \quad \\ \lambda_n(\lambda_k(A)SS^{*}) = \lambda_k(A)\lambda_1(SS^{*}) = \lambda_k(A)\sigma_{n}^{2}

したがって次が成り立つ。

\sigma_{1}^{2}\lambda_k(A) \leq \lambda_k(SAS^{*}) \leq \sigma_{n}^{2}\lambda_k(A)

もし \(\lambda_k(A) \gt 0\) ならば、同様にして次が得られる。

\sigma_{n}^{2}\lambda_k(A) \leq \lambda_k(SAS^{*}) \leq \sigma_{1}^{2}\lambda_k(A)

いずれの場合（あるいは自明な場合 \(\lambda_k(A) = \lambda_k(SAS^{*}) = 0\)）でも、ある \(\theta_k \in [\sigma_n^{2}, \sigma_1^{2}]\) が存在して次が成り立つ。

\lambda_k(SAS^{*}) = \theta_k \lambda_k(A)

特に、Ostrowski の定理で \(A = I \in M_n\) の場合、すべての \(\lambda_k(A) = 1\) となり、\(\theta_k = \lambda_k(SS^{*}) = \sigma_{n-k+1}^{2}\) となる。さらに、\(S \in M_n\) がユニタリ行列ならば、\(\sigma_1 = \sigma_n = 1\) であり、すべての \(\theta_k = 1\) となる。これは固有値がユニタリ相似変換で不変であることを表している。

また、連続性の議論を用いれば、先の定理を \(S\) が特異な場合に拡張できる。この場合、\(\delta \gt 0\) をとり、すべての \(\varepsilon \in (0, \delta)\) に対して \(S + \varepsilon I\) が非特異となるようにする。定理を \(A\) と \(S + \varepsilon I\) に適用すると、

\lambda_k((S + \varepsilon I)A(S + \varepsilon I)^{*}) = \theta_k \lambda_k(A)

ただし、\(\lambda_1((S + \varepsilon I)(S + \varepsilon I)^{*}) \leq \theta_k \leq \lambda_n((S + \varepsilon I)(S + \varepsilon I)^{*})\) が成り立つ。ここで \(\varepsilon \to 0\) とすると、次を得る。