[行列解析4.5.8]定理

4.5.8

定理 4.5.8 （シルベスター）.

エルミート行列 \(A, B \in M_{n}\) は、同じ慣性を持つ場合、すなわち正の固有値の数と負の固有値の数が一致する場合に限り、∗合同である。

証明.

各行列 \(A\) および \(B\) はそれぞれ自身の慣性行列に ∗合同であるので、もし慣性が一致するならば、それらは必ず ∗合同である。逆の主張の方がより興味深い。

\(S \in M_{n}\) が正則であり、\(A = S B S^{*}\) であると仮定する。合同な行列は同じランクを持つので、\(i_{0}(A) = i_{0}(B)\) が成り立つ。したがって、示すべきは \(i_{+}(A) = i_{+}(B)\) である。

\(v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{i_{+}(A)}\) を \(A\) の正の固有値 \(\lambda_{1}(A), \ldots, \lambda_{i_{+}(A)}(A)\) に対応する正規直交固有ベクトルとし、部分空間 \(S_{+}(A) = \mathrm{span}\{v_{1}, \ldots, v_{i_{+}(A)}\}\) を考える。任意の非零ベクトル \(x = \alpha_{1} v_{1} + \cdots + \alpha_{i_{+}(A)} v_{i_{+}(A)} \neq 0\) に対して、

x^{*} A x = \lambda_{1}(A) |\alpha_{1}|^{2} + \cdots + \lambda_{i_{+}(A)}(A) |\alpha_{i_{+}(A)}|^{2} \gt 0

すなわち、部分空間 \(S_{+}(A)\) に属する任意の非零 \(x\) に対して \(x^{*} A x \gt 0\) が成り立つ。したがって、この部分空間の次元は \(i_{+}(A)\) である。

さらに、部分空間 \(S^{*} S_{+}(A) = \{ y : y = S^{*} x, x \in S_{+}(A) \}\) も次元 \(i_{+}(A)\) を持つ。もし \(y = S^{*} x \neq 0\) かつ \(x \in S_{+}(A)\) ならば、

y^{*} B y = x^{*} (S B S^{*}) x = x^{*} A x \gt 0

よって (4.2.12) から \(i_{+}(B) \geq i_{+}(A)\) が従う。逆に、同様の議論で \(A\) と \(B\) の役割を入れ替えると、\(i_{+}(A) \geq i_{+}(B)\) が示される。したがって、結論として \(i_{+}(B) = i_{+}(A)\) である。

演習.

エルミート行列 \(A \in M_{n}\) が正定値であることと、\(A\) が単位行列に ∗合同であることが同値であることを示せ。

演習.

対称行列 \(A, B \in M_{n}(\mathbb{R})\) に対して、\(A\) と \(B\) が複素行列を介して ∗合同であることと、実行列を介して合同であることが同値であることを示せ。

演習.

\(A, S \in M_{n}\) とし、\(A\) はエルミート行列、\(S\) は正則行列とする。\(A\) の固有値を昇順に並べて \(\lambda_{1} \leq \cdots \leq \lambda_{n}\)、\(S A S^{*}\) の固有値を昇順に並べて \(\mu_{1} \leq \cdots \leq \mu_{n}\) とする。このとき各 \(j = 1, \ldots, n\) に対して、\(\lambda_{j}\) と \(\mu_{j}\) はいずれも負、いずれも零、またはいずれも正であることを示せ。

エルミート行列の固有値を非増加順に並べた場合、その符号は ∗合同によって変化しないが、大きさは変化する可能性がある。その大きさの変化に関する境界は、次に述べるシルベスターの定理の量的な形で与えられる。