[行列解析4.5.26]定理

4.5.26

定理 4.5.26.

\(A, B ∈ M_p\) および \(C ∈ M_q\) が与えられたとする。このとき、\(A ⊕ C\) と \(B ⊕ C\) が合同であることは、\(A\) と \(B\) が合同であることと同値である。

与えられた \(A ∈ M_n\) の合同標準形を決定する手順は、以下の 2 ステップからなる。

ステップ 1.

非特異行列 \(S ∈ M_n\) を構成して \(A = S(B ⊕ N)S^T\) とし、これにより \(A\) を正則化する。ここで \(N = J_{r_1}(0) ⊕ ··· ⊕ J_{r_p}(0)\) は合同に対する \(A\) の一意に決まる特異部分であり、正則部分 \(B\) は非特異である。\(N\) の決定はアドホックに行うこともできるし、既知の正則化アルゴリズムを使用することもできる。非特異成分 \(B\) の合同同値類（ただし \(B\) 自身ではない）は \(A\) によって一意に決定され、\(B\) は合同に対する \(A\) の正則部分である。

ステップ 2.

コスクエア \(B^{-T} B\) のジョルダン標準形を計算する。これにより、\(A\) のタイプ I ブロックとタイプ II ブロックが決定される。具体的には、各ブロック \(J_k((−1)^{k+1})\) はタイプ I ブロック \(\Xi_k\) に対応し、各ペア \(J_k(μ) ⊕ J_k(μ^{-1})\) はタイプ II ブロック \(H_{2k}(μ)\) に対応する。ここで \(\mu\) は \(\mu^{-1}\) に置き換えることができ、両者は合同である。

行列の ∗合同標準形を決定するアルゴリズムで問題となったタイプ I ブロックの符号の問題は、合同標準形では生じない。