[行列解析4.5.16]定義（共対角化可能）

定義 4.5.16.

行列 \( A \in M_n \) が共対角化可能 (condiagonalizable) であるとは、ある正則行列 \( S \in M_n \) と対角行列 \( \Theta \in M_n \) が存在して、

A = S \Theta \bar{S}^{-1}

と表せることをいう。

次の定理の証明には、共対角化可能行列に関する3つの事実が使われる。

(1) 対角行列 \(\Theta\) の成分は任意の順序に並び替えることができる。すなわち、置換行列 \( P \) に対して、

A = S \Theta \bar{S}^{-1} = S P^T (P \Theta P^T) (S P^T)^{-1}

(2) \(\Theta\) は実非負の対角行列と仮定できる。すなわち、もし

\Theta = \operatorname{diag}(|\lambda_1| e^{i \theta_1}, \ldots, |\lambda_n| e^{i \theta_n})

とすると、

|\Theta| = \operatorname{diag}(|\lambda_1|, \ldots, |\lambda_n|)

および

D = \operatorname{diag}(|\lambda_1|^{1/2} e^{i \theta_1/2}, \ldots, |\lambda_n|^{1/2} e^{i \theta_n/2})

とおけば \( D = \bar{D}^{-1} \) であり、\(\Theta = D |\Theta| D\) となる。したがって、

A = S \Theta \bar{S}^{-1} = S D |\Theta| D \bar{S}^{-1} = (S D) |\Theta| (S D)^{-1}

(3) \( A \) が正則なら、\( A \) が共対角化可能であることと \( A^{-1} \) が共対角化可能であることは同値である。実際、

A = S \Theta \bar{S}^{-1} \quad \Leftrightarrow \quad A^{-1} = \bar{S} \Theta^{-1} S^{-1}

行列解析の総本山