4.5.13
定理 4.5.13.
対称行列 \( A \in M_n \) と任意の \( S \in M_n \) に対して、次を仮定する：
\( A = U \Theta U^T \)、および \( SAS^T = VMV^T \) はそれぞれ (4.4.4c) に基づく分解であり、ここで \( U \)、\( V \) はユニタリ行列、\( \Theta = \operatorname{diag}(\sigma_1, \sigma_2, \ldots, \sigma_n) \)、\( M = \operatorname{diag}(\mu_1, \mu_2, \ldots, \mu_n) \) はすべての \( \sigma_i, \mu_i \geq 0 \) を満たす。
また、\( \lambda_i(SS^*) \) を \( SS^* \) の固有値とし、すべて非減少順に並べられているとする。
このとき、各 \( k = 1, 2, \ldots, n \) に対して、非負実数 \( \theta_k \) が存在し、次の不等式を満たす：
\lambda_1(SS^*) \leq \theta_k \leq \lambda_n(SS^*)
さらに、
\mu_k = \theta_k \sigma_k
が成り立つ。もし \( S \) が正則なら、すべての \( \theta_k \gt 0 \) である。
証明.
次が成り立つ：
\mu_k^2 = \lambda_k(SAST \bar{S} A \bar{S}^*)
ここで (4.5.11) により、ある \( \hat{\theta}_k \in [\lambda_1(SS^*), \lambda_n(SS^*)] \) が存在して：
\mu_k^2 = \hat{\theta}_k \lambda_k(AST \bar{S} \bar{A})
また (1.3.22) より：
\mu_k^2 = \hat{\theta}_k \lambda_k(\bar{S} \bar{A} A S) = \hat{\theta}_k \lambda_k(SAA \bar{S}^*)
ここで \( SAA \bar{S}^* \) はエルミートであり、(4.5.11) をもう一度使うと：
\mu_k^2 = \hat{\theta}_k \tilde{\theta}_k \lambda_k(A \bar{A}) = \hat{\theta}_k \tilde{\theta}_k \sigma_k^2
したがって：
\mu_k = (\hat{\theta}_k \tilde{\theta}_k)^{1/2} \sigma_k = \theta_k \sigma_k
ここで、\( \theta_k = (\hat{\theta}_k \tilde{\theta}_k)^{1/2} \) は必要な条件を満たす。
(1.3.19) より、2つの相似変換可能な行列は、互いに可換である場合に限り同時対角化可能であることが知られている。では、合同変換による同時対角化に対応する結果はどのようなものか？
この問題に対する最初期の動機は、安定な平衡点付近の小振動を調べる力学から生まれた。力学系の構成が一般化座標 \( q_1, q_2, \ldots, q_n \) により記述され、原点が安定平衡点であるとき、ポテンシャルエネルギー \( V \) と運動エネルギー \( T \) は以下のような実二次形式で近似される：
V = \sum_{i,j=1}^n a_{ij} q_i q_j, \quad T = \sum_{i,j=1}^n b_{ij} \dot{q}_i \dot{q}_j
ここで、\( \dot{q}_i \) は一般化速度であり、系の運動はラグランジュ方程式に従う：
\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_i} \right) - \frac{\partial T}{\partial q_i} + \frac{\partial V}{\partial q_i} = 0
これは定数係数をもつ2階の常微分方程式の連立系であり、2つの二次形式 \( T \) と \( V \) が対角でない限り、互いに連成していて解くのが困難である。ここで、実対称行列 \( A = [a_{ij}] \)、\( B = [b_{ij}] \) を考える。
もし、ある実正則行列 \( S = [s_{ij}] \in M_n \) が存在して、\( SAST \) および \( SBST \) がともに対角行列になるならば、新たな一般化座標 \( p_i \) において、次のように変換できる：
q_i = \sum_{j=1}^n s_{ij} p_j \tag{4.5.14}
このとき、運動エネルギーとポテンシャルエネルギーはともに対角形式となり、ラグランジュ方程式は連成していない標準的な2階線形微分方程式へと簡略化される。これらの方程式は指数関数や三角関数を用いた標準的な解をもち、元の問題の解も (4.5.14) を用いて得られる。
これは、「2つの実対称行列を合同変換により同時対角化できるならば達成可能である」という物理的根拠である。運動エネルギーの二次形式が正定値であることは、必要条件ではないが十分条件となる。
私たちは、行列 \( A, B \in M_n \) に対して、いくつかの種類の同時対角化を考える：
・\( A, B \) がエルミートである場合：ユニタリ行列 \( U \) によって \( UAU^* \) および \( UBU^* \) を対角化したい、もしくは、正則行列 \( S \) によって \( SAS^* \)、\( SBS^* \) を対角化したい。
・\( A, B \) が対称行列である場合：\( UAUT \)、\( UBUT \)、あるいは \( SAST \)、\( SBST \) を対角化したい。
・混合型の場合：例えば、Grunskyの不等式 (4.4.1) のように、\( A \) がエルミートで \( B \) が対称であり、\( UAU^* \)、\( UBUT \)（または \( SAS^* \)、\( SBST \)）を対角化したい。
以下の定理は、ユニタリ変換による同時対角化に関するものである。
行列解析の総本山
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