[行列解析4.4.P41]

4.4.問題41

\(A \in M_n\) に対して \(A \bar{A}\) が正規（すなわち \(A\) は合同正規）であるのは、かつその場合に限り、\(A\) は各ブロックが

\begin{pmatrix}\sigma\end{pmatrix} \quad \text{または} \quad \tau \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ \mu & 0 \end{pmatrix}, \quad \\ \sigma,\tau \in \mathbb{R}, \sigma \ge 0, \tau > 0, \mu \in \mathbb{C}, \mu \neq 1

であるブロックの直和にユニタリ合同で相似である場合である（4.4.29）。

この直和は、ブロックの順序を入れ替えたり、任意の非零パラメータ \(\mu\) を \(\mu^{-1}\) に置き換え、対応して \(\tau\) を \(\tau |\mu|\) に置き換えることを除いて、\(A\) により一意に定まる。

(a) 正準形 (4.4.28) および (4.4.29) を用いて、任意の共役正規行列が合同正規であることを示せ。

(b) 共役正規性の定義と (2.5.P27) の合同正規行列の特徴づけを用いて、異なる方法で証明せよ。